晃板，英文名称为  ”rolla bolla” 。无论在中国或是在国际杂技表演中，晃板都是常见的表演项目。晃板的演出是在平台上放一只圆柱形滚筒，上面搁一块木制厚板，演员站立在板上。由于圆筒很容易滚动，木板上面的演员处于极不稳定的状态。如圆筒滚出木板的覆盖范围，木板连同站立的人体即掉落下来。训练有素的演员利用双脚驾驭木板，使木板不停地晃动，能使自己在木板上保持直立的稳定状态，以完成各种精彩的表演动作（图1）。若在木板上再放置圆筒和木板构成多层晃板，使演员在更不稳定的状态中保持平衡，表演更为精彩。

图1  晃板

与前篇关于 “顶技” 的博文中讨论的情况类似，晃板的力学模型也是支在动点上的不稳定倒摆。在分析晃板的力学问题以前，先讨论一个相对简单的问题。略去承载演员的木板和圆筒，简化为支承在动点上的复摆。沿用前篇博文里用过的倒置复摆的微分方程（图2）：

                                                                                                (1)

图2   支在动点上的倒置复摆

在前文对顶技的分析中，支点的运动被视为随身体倾斜角θ变化的受控运动。与顶技不同，晃板支点的运动是表演者左右晃动产生的结果。将 x(t) 的变化规律设为以 ω 为角频率，振幅为 a₀ 的简谐函数：

                                                                                                                                     (2)

带入方程 (1)，引入常数 k² = mgl/J，得到

                                                                                                   (3)

即倒置单摆在周期激励作用下的受迫振动方程。此方程存在以下非齐次特解：

                                                                                                                                                            (4)

其中的负号表示响应与激励的相位相反。定义无量纲化的频率 s = ω/k，响应的振幅 θ₀ 表示为

                                                                                                                     (5)

图 3为振幅 θ₀  随激励频率 s 变化的幅频特性曲线。可看出随着激励频率 s 增加，响应的振幅 θ₀  从零开始单调增大，朝极限 mla₀/J 趋近。

图3   不稳定系统的幅频特性

振动力学教材里一般不会讨论这种不稳定系统的受迫振动问题。虽然理论上有此特解存在，但它所表示的周期运动在实践中真会发生吗？如果真能发生，则说明不稳定的振动系统也能通过周期性激励产生周期性的响应，使平均位置在不稳定平衡位置附近摆动，而避免无限偏离此位置。换言之，利用人为制造的振动可使不稳定平衡状态转化为平均位置的稳定状态，成为一种特殊的稳定方法。为验证这种状态能否发生，不妨做一个简单的实验。取一条鸡毛掸帚顶在手指上，然后左右快速挥动，观察它能否保持垂直的平均位置不倒，就能得出结论。

晃板是验证此特殊稳定过程的另一个例子，不过它的力学模型要复杂得多。将晃板简化为由圆筒 B₁，木板B₂ 和直立的演员 B₃ 组成的多体系统 {B}。圆筒 B₁ 在固定平台 B₀ 上滚动，木板 B₂ 在圆筒 B₁ 上滚动。若均为无滑动的纯滚动，则 B₁ 与 B₀，B₂ 与 B₁ 均以非完整约束相联系。仅讨论平面运动时，此纯滚动的非完整约束可积分为完整约束（图4）。

演员 B₃ 利用下肢控制木板 B₂ 的转动，忽略双腿屈伸对质量分布的影响，可认为 B₃ 与 B₂ 以受控的圆柱铰相联系。设 B₁ 的半径为 r，B₂ 的长度为 l，B₃ 的质心高度为 h，各分体 B_i 的质心记作 O_i (i=1,2,3)。设在初始时刻平板 B₂ 水平，与圆筒 B₁ 的接触点为忽略厚度的板的中点 O₂，演员 B₃ 直立在板上。设圆筒 B₁ 与固定平台 B₀ 的初始接触点为 O₀。以 O₀ 为原点建立固定的平面参考坐标系 (O₀-x₀y₀)，x₀ 轴为水平轴，y₀ 为垂直轴。过圆筒中心 O₁ 点的垂直轴与圆筒交于 O′ 和 O″ 点， O′ 为圆筒与平台的接触点，距圆筒上的初始位置 Q 相对O₁转过的中心角为 ϕ。木板 B₂ 与圆筒 B₁ 的接触点 P 在板上的初始位置与板的质心 O₂ 重合，在圆筒上的初始位置为 O″  点。P 点与 O″ 点相对 O₁ 转过的角度为 ϕ。设木板相对水平位置转过的角度为 ψ，即接触点 P 与 O″ 相对 O₁ 转过的角度，也等于 B₂ 的法线轴 y₂ 相对垂直轴 y₀ 的倾角。设人体 B₃ 的对称轴 y₃ 相对 y₀ 轴的倾角为 θ，则人体 B₃ 相对木板 B₃ 的偏角，即 y₃ 与 y₂ 的夹角为  γ  =  ψ - θ。

图4  晃板的简化模型

将各分体质心 O_i  在 (O₀-x₀y₀) 中的坐标记作 x_i, y_i (i = 1,2,3)  (图 4)。除 y₁ = r 保持常值以外，5 个未知坐标受 2 个纯滚动条件约束，为 3 自由度系统。将 θ, ϕ, γ 取作 3 个广义坐标，其中  γ 是演员主动控制木板姿态的控制变量，ϕ 和 θ 是待定的未知变量。利用纯滚动条件和矢量间的几何关系，除纯滚动条件要求 x₁ = rϕ 以外，各分体质心坐标的推导过程在附录中给出。得到

                                                                           (6)

  设各分体B_i的质量和中心主惯性矩分别为 m_i 和 J_i0 (i=1,2,3)，其中 J₁₀=m₁r²/2, J₂₀=m₂l²/12，系统的总质量为 m = m₁+m₂+m₃。圆筒在与平台的接触点 O′ 处受法向约束力 F_n 的作用。以系统 {B} 为对象，列写沿 y₀ 轴的动量定理，导出 F_n = mg。列写系统 {B} 对固定点 O₀ 的动量矩定理，以及 B₂ 和  B₃ 组成的分系统对接触点 P 的动量矩定理。因矩心P为动点，必须计入因 P 点运动产生的惯性力对 P 点的矩。利用式 (6)将所有坐标用 θ, ϕ 和 γ 表示。各偏角均为小量，仅保留其一次项，得到一次近似的动力学方程：

                                                                                     (7a)

                                                                          (7b)

此方程组的系数为

                                                    (8)

其中 J₁ =  J₁₀+ m₁r²,  J₃ =  J₃₀+ m₃h² 分别为 B₁ 相对 O′ 点和 B₃ 相对 O₂ 点的惯性矩。控制变量 γ(t) 给定以后，方程组 (7) 完全确定 θ(t) 和 ϕ(t) 的变化规律。方程组 (7) 的推导过程在附录中给出。

   先假定演员对木板不加控制，则 γ(t) ≡ 0，方程组(7)存在 θ = ϕ = 0 的稳态解，对应于人体在水平板上直立，圆筒无滚动的平衡状态。将表示扰动的特解 θ = Θe^λt, ϕ = Փe^λt 代入方程组 (7)。因人体的质量远大于晃板道具的质量，为避免表达式过于繁琐，略去系数中除 m₃, J₃ 以外其余部件的惯性参数，导出特征方程：

                                                                                                                       (9)

其中

                                                                                      (10)

由于有负系数-c存在，可以判断方程 (9) 存在正实部的特征根。从而证明，如不对晃板施加控制，直立在晃板上的演员的平衡必不稳定，稍受扰动即失去平衡摔倒。

   再假定演员通过下肢的控制使木板作幅度为 Г，角频率为 ω 的周期摆动：

                                                                                                                               (11)

则变量 θ, ϕ 在 γ(t) 的周期激励下产生频率相同的响应：

                                                                                            (12)

将式 (11),(12) 代入方程组 (7)，设板的摆动频率较高，ω >> 1，略去 ω^-1 的二次以上微量，且利用 ψ = θ+γ = Ψsinωt，导出各角度坐标的响应幅值：

                                                                       (13)

可见人体倾斜和圆筒滚动的幅度均与木板的摆动幅度 Г 成正比，相位也相同。人体的倾斜方向和圆筒的滚动方向均与木板转动方向一致。

   上述晃板的运动就是一个不稳定系统的受迫振动过程。演员的下肢控制γ(t)使木板摆动产生激励，身体的摆动 θ(t) 和圆筒的滚动 ϕ(t) 均为对激励所产生的响应。由于 J₃₀ >> J₂₀，人体在垂直轴附近的摆动幅度Θ极小。设人体的惯性矩 J₃₀ = 5 kg·m²，木板重 2 kg，长度 1 m，则 J₂₀ = 0.17 kg·m²，人体与木板的摆动幅度之比为 0.034。即使木板摆动幅度为 30⁰，人体摆动幅度也仅为 1⁰，仍基本保持直立状态。圆筒在平台上滚动的最大水平距离，以及木板在圆筒上滚动的最大距离分别为 rՓ 和 r(Ψ-Փ)。如人体重心高度 h = 1.2 m，圆筒半径 r = 10 cm，则圆筒和木板滚动的最大距离约为 1cm 和 4cm。熟练的晃板演员通过对木板摆动的频率和幅度的控制，能使圆筒在中心位置附近的滚动不越出木板的覆盖范围，得以从容不迫地在板上完成各种精彩的杂技动作。

  （改写自：刘延柱. 晃板的力学. 力学与实践，2010，32(5): 107-109

               刘延柱. 趣味刚体动力学(第2版)，2.3节. 北京：高等教育出版社，2018）