杂技艺术是中国的传统艺术之一，已有2000多年的悠久历史。杂技的许多精彩表演蕴含着深刻的力学原理。博文“抖空竹与欧拉方程”、“谈狮子滚球，驱动力来自何处？”、“独轮车和赛格威车为何直立不倒？”里已讨论过几种与杂技相关的力学问题。近期发出的关于运动稳定性的博文内容太理论化，有必要换个较轻松的话题。实际上杂技表演中的力学现象多与稳定性有关，不妨作为对运动稳定性的理论知识提供应用的实例。本文先从最常见的“顶技”开始讨论。

在顶技表演里，演员用头，额、鼻或肩，甚至口衔棍棒顶着各种物件，巧妙掌握物体的平衡维持稳定不倒。所顶的物体五花八门多种多样，但所有的顶技表演都归结为同一个力学模型，即以动点为支点的一个倒置的复摆。所蕴含的力学问题是：复摆的不稳定直立状态是如何依靠支点的运动转化为稳定的。

将一种最古老也是最华丽的顶技“耍幡”作为具体的讨论对象。它起源于晋代，已有一千多年历史。是中国民间的传统绝技，也是国家级的非物质文化遗产（图 1）。幡是皇室出行仪仗中装饰华丽的长条形旗帜，旗手将幡旗在手中耍舞能显示军队的勇武智慧，鼓舞斗志。耍幡在清代盛极一时，是朝佛、庆典等活动的常备项目。根据《百戏竹枝词》的记载：

"幡为四五尺高，上悬铃锋，健儿数辈舞之，指挥甚如意，佐以金鼓声，观者如堵墙焉。"

 图1   耍幡

表演耍幡的艺人将十余米高、几十斤重的幡竖起，托在手中或支在肩膀、脑门、下巴、项背上，上下飞舞、交替腾挪，舞出许多花样，而幡始终竖立不倒。将幡简化成重心在上支点在下的复摆。众所周知，倒置复摆的平衡状态是不稳定的，稍受扰动即倾覆。但此现象仅对支点固定的复摆而言，而幡在表演者身上的支点是不固定的。在耍幡过程中，熟练的耍幡艺人能根据幡的状态随时控制支点的运动使幡保持稳定。

设复摆的支点 P 与地面保持等高度，O 为与 P  高度相等的固定点，以 O 为原点建立惯性坐标系 (O-x₀y₀)，x₀ 轴沿  P  点的运动方向，y₀ 轴为垂直轴。以 P  为原点建立动坐标系 (O-xy)，x 轴与 x₀ 轴重合，y 轴平行于 y₀ 轴。列写矩心为 P 的动量矩定理时，将 (P-xy) 取作动参考坐标系，且将坐标系运动引起的惯性力视为外力，对定点的动量矩定理即转变为对动点的动量矩定理。

 图2   支在动点上的倒置复摆

  令 OP=x，复摆的摆轴与y轴的夹角为 θ，设复摆的质量为 m，其相对 P 点的转动惯量为 J，质心与 P 点的距离为 l（图 2），基于上述对动点 P 的动量矩定理列出

                                                                                                 (1)

忽略 θ  的二次以上微量，简化为一次近似方程：

                                                                                                                            (2)

若支点固定不动，则 x 的导数为零，此二阶线性系统的特征值为 λ_1,2 = ±(mgl/J)^1/2。因存在正实数特征根，表明支在固定点上的复摆为不稳定平衡。根据前文 “李雅普诺夫一次近似运动稳定性理论浅释” 中的说明可以断定，原系统 (1) 的平衡也不稳定。

对于动支点情形，为使包含两个未知变量 θ, x 的方程 (2) 封闭，还须补充给出表演者对幡的控制规律。在表演过程中，表演者密切观察手中托起的幡的状态，如发觉幡向一边倾斜，立即通过支点朝倾斜方向对幡用力。这个控制过程先用以下线性规律近似地描述：

                                                                                                                                                          (3)

代入式 (2)，得到仅含  θ  的微分方程：

                                                                                                           (4)

若方程 (4) 的所有系数均为正值，则特征值为纯虚根：

                                                                                                                     (5)

因此只要满足 k >g 条件，就能使倒置的复摆稳定。根据李雅普诺夫一次近似稳定性定理，此结论不能判断原系统 (1) 的稳定性，但可用于解释实践中已观察到的稳定现象。

复摆受扰后在地垂线附近作微辐摆动。将幡简化为长度为 2l 的细杆，则 J = 4ml²/3，周期为

                                                                              (6)

杆愈长则周期愈长。对于长度超过 10米的幡，其摆动周期极长，幡上的缨络、小旗和彩绸迎风飞舞产生的空气阻尼更使摆动过程延缓，表演者得以从容不迫地完成霸王举鼎、苏秦背剑等各种精彩动作。

  若表演者对幡的控制动作极灵敏，不待幡出现倾斜角 θ，只要幡有向一边倾斜的趋势，有角速度 dθ/dt 出现时，即能被感知而对幡施加控制力。则可将控制规律 (3) 修改为

                                                                                                                                   (7)

代入式 (2)，化作

                                                                                         (8)

解出特征值为

                                                        (9)

若满足以下条件：

                                                                                          (10)

则特征值的实部均为负值，复摆为渐近稳定。根据李雅普诺夫一次近似稳定性定理，线性系统和原系统 (1) 的零解均为渐进稳定。

   一旦幡被表演者脱手抛起，转变为悬空状态时，对其运动的描述必须改用对质心的动量矩定理。由于重力对质心的力矩为零，幡对质心的动量矩守恒。表演者只要在脱手时避免幡出现初始角速度，随后在空中必保持竖直状态不变。

   耍幡是杂技表演中形形色色的顶技功夫之一。上述力学分析适用于所有的顶技表演。其稳定性的保持均得力于支点的受控运动，而控制规律的实现则取决于表演者的熟练技巧和深厚功底，就不是一朝一日所能达到的了。

         （改写自：刘延柱. 漫谈耍幡. 力学与实践，2009，31(5)：100-101

   刘延柱. 趣味刚体动力学(第2版)，2.4节. 北京：高等教育出版社，2018）