博文 “力学中的时空变换与DNA弹性杆模型” 里叙述了用刚性截面沿弧坐标s转动的弹性杆模型。本文讨论这种弹性杆模型的一种特殊平衡形态，即螺旋线形态及其稳定性。

螺旋线形态的物体无论在工程技术里或在自然界都极为常见。如机械设备里的各种螺圈弹簧、自然界里攀藤植物的茎、螺旋纤维、螺旋杆菌，现代技术里的螺旋纳米碳纤维，分子生物学里的DNA弹性杆模型等等（图1, 2, 3）。

图1  攀附植物的螺旋形态

图2  螺旋杆菌

          图3  电话线

   前篇博文里已依据弹性杆截面微元体的平衡条件，导出用弧坐标表示截面姿态的弹性杆平衡方程（图4）。设 (O-xyz) 为杆截面的主轴坐标系，截面的内力矩 M 由杆的曲率 ω_x，ω_y 和扭率 ω_z 确定。设截面绕 x 轴和 y 轴的抗弯刚度为 A, B，截面绕 z 轴的抗扭刚度为 C，变形前为直杆，则内力矩为

                                                                                              (1)

若杆为圆截面，A=B，依据杆截面处微元体的平衡条件，列出

                                                                                                        (2a)

                                                                                                       (2b)

                                                                                                                                 (2c)

其中 F 为截面的内力主矢，在忽略体积力条件下 F 为常矢量。

图4   弹性杆微元弧段的平衡

将弹性杆两端 P₀ 和 P_L 的连线作为 Z 轴，分别作用沿 Z 互相平衡的外力 F 和 -F、外力矩 M 和 -M。过杆上任意点 P 作与 Z 轴正交的平面，与 Z 轴交于 O 点。以 O 为原点，建立定坐标系（O-XYZ）。设（O-XYZ）绕 Z 轴转动 ψ 角后，X 轴与沿矢径 PO 方向的 x₀ 轴重合，形成新的参考坐标系 (O-x₀y₀z₀)，z₀ 轴与 Z 轴重合（图5）。令 (O-x₀y₀z₀) 绕 x₀ 轴转动 θ 角到达（O-xyz），再绕 z 轴扭转 φ 角成为与截面固定的连体坐标系(O-x_Ry_Rz_R)。因截面为轴对称，绕 z 轴的扭角 φ 不影响截面在（O-xyz）内的质量分布。因此以（O-xyz）代替连体坐标系(O-x_Ry_Rz_R) 作为参考坐标系计算更为简便。角度坐标 ψ, θ, φ 称为欧拉角，是确定截面姿态的 3 个独立坐标 (图 6)。

                                                                  图5   弹性杆的受力状态与坐标轴的确定

                                                                         图6   参考坐标系与欧拉角

将方程组 (2) 中的运动学参数用欧拉角表示为

                                                         (3)

代入方程组 (2) , 其中式 (2c) 可直接积分，得到

                                                                                                               (4)

即弹性杆绕杆中心线z轴的扭率为常值。方程 (2a) 和 (2b) 化作

                                                                               (5a)

                                                                               (5b)

        前篇博文中已说明了弹性杆的平衡方程与刚体定点运动的动力学方程之间的密切联系。若将方程组 (2)，或用欧拉角表达的方程组 (5) 中的自变量由弧坐标s改为时间t，将常数 F 改为重力矩 mgl，则成为拉格朗日情形刚体定点运动的动力学方程。即质心和支点均在对称轴上的轴对称刚体在重力作用下的定点运动。m 为刚体质量，l 为质心与支点的距离。

拉格朗日情形刚体定点运动存在一种由常值特解 θ = θ₀, dψ/dt  = (dψ/dt)₀, dφ/dt  = (dφ/dt)₀ 描述的稳态运动，称为 “规则进动”。博文 “抽陀螺与刚体的规则进动” 里对这种运动有详细的说明。即陀螺的尖端着地，对称轴 z 偏离垂直轴 z₀ 的角度为 θ₀，以常值角速度 (dψ/dt)₀ 绕 z₀ 轴进动，同时以常值角速度 (dφ/dt)₀ 绕 z 轴自旋的运动（图7）。

图7   刚体的规则进动

时空自变量转换后，以弧坐标s为自变量的弹性杆平衡方程 (5) 也存在与刚体规则进动类似的常值特解 θ = θ₀, (dψ/ds)₀ 和 (dφ/ds)₀。对应于一种特殊的平衡状态，即以 θ₀ 为螺旋角的圆柱螺旋线状态（图3）。将 θ = θ₀ 代入方程 (5b) 成为恒等式，代入方程 (5a) 和式 (4)，在 θ₀ 不等于零条件下导出

                                                  (6)

于是刚体定点运动的进动角速度 (dψ/dt)₀ 变为杆截面绕圆柱中心轴的转角 ψ 对 s 的变化率 (dψ/ds)₀ = ω₀，自旋角速度 (dφ/dt)₀ 变为杆截面的扭角 φ 对 s的变化率，即杆相对 (O-xyz) 的扭率。为简化公式推导，设τ₀ = 0。将式 (6) 代入式 (3) 计算杆的曲率 ω_x,ω_y 和扭率 ω_z，再代入式 (1) 计算内力矩 M。得到

                                                                                      (7)

将 (O-x₀y₀z₀) 平移至螺旋杆上的任意点 P，成为 (P-x₀y₀z₀)。利用柱坐标 ρ,Ψ, ζ 确定 P 点在圆柱面上的位置（图8）。其中沿 x₀ 轴负方向的径向坐标 ρ 等于螺旋线的半径 R。沿 z₀ 轴的坐标ζ满足 dζ = cosθ₀ds。绕 z₀ 轴的转角坐标 Ψ 与表示截面姿态变化的进动角 ψ 相同（证明见文献[2]）。利用切向坐标 Rdψ = sinθ₀ds 导出

                                                                                                                                         (8)

     图8  螺旋杆形态的确定

设矢径 OP = R，将杆的上端 P₀ 处作用的 F₀ 与 M₀ 向 P 点简化，与 P点处截面作用的内力 -F  和内力矩 -M 满足平衡方程（图 5）：

                                                                                                                   (9)

其中的力矩平衡式各项均与 x 轴正交，对  x  轴的投影等于零。在对 y 轴和 z 轴投影式中，将式 (7) 代入，设 i, j, k 为  x, y, z 各轴的基矢量，利用 i₀ = i，j₀ = jcosθ - ksinθ, k₀ = jsinθ + kcosθ 等式化简，得到

                                                                                    (10)

利用式 (8) 消去 R，从上式解出外力 F₀ 和外力矩 M₀ 与常数 ω₀ 和 θ₀ 之间的关系：

                                                                                             (11)

因杆的抗弯刚度 A 大于抗扭刚度 C，A - C > 0。则上式中的 ω₀ 与 M₀ 的正负号相同，M₀ > 0为右螺旋，M₀ < 0为左螺旋。F₀ < 0为负值，表明在端部施加沿轴向的压力可使直杆变形为螺旋杆。以攀附植物为例，当细长的直茎触及墙壁找到支点时，因两端固定，细茎继续生长必使支点产生压力，使直茎转变为螺旋形（图1）。

  螺旋杆的平衡稳定性可借鉴拉格朗日刚体规则进动已研究明确的规律。当刚体的重心在支点下方，mgl < 0 时，规则进动必稳定。如重心在支点上方，mgl > 0，则要求转速 ω₀ 超过临界值 ω_0,cr 方可能稳定。临界值 ω_0,cr  定义为

                                                                                                (12)

依据弹性杆平衡方程 (5) 与刚体定点运动微分方程的相似性，上述刚体规则进动中的重力矩 mgl 与弹性杆平衡状态的外力 F₀ 相对应，因此将上述刚体规则进动的稳定性条件 (12) 中的 mgl 置换为 F₀，即可判断螺旋杆的平衡稳定性。从而推知：F₀ < 0，即支点处的外力为压力时，螺旋杆必稳定。若 F₀ > 0，即作用的外力为拉力时，则仅当杆的曲率 ω₀ 满足以下条件时方可能稳定：

                                                                                                                            (13)

利用 Cω₀ = M₀cosθ₀，此条件可化作

                                                                                                                                   (14)

对于 θ₀ = 0 的特殊情形，条件(14)提供了判断两端受拉扭直杆的稳定性条件：

                                                                                                                                                 (15)

当拉力 F₀ 超过临界值 M₀²/4A 时，直杆失稳而突变为螺旋线。条件(15)在文献中称为 Greenhill 公式。博文 “葡萄藤与捻绳子” 里对实际发生的这种现象曾有过具体描述（图9）。

                                图9   受拉扭的细绳因拉力过大的失稳现象

以上分析可为自然界中普遍存在的螺旋线平衡现象提供理论解释。稳定性条件 (12) 和 (14) 的详细推导过程可分别参阅文献 [1] 和文献 [2]。

参考文献：

1.       刘延柱. 高等动力学(第二版). 北京：高等教育出版社，2016

2.       刘延柱. 弹性细杆的非线性力学. 北京：清华大学出版社/Springer，2006

（改写自：刘延柱. 弹性细杆的非线性力学. 北京：清华大学出版社/Springer，2006 的部分章节）