博文 “跳跃和跑步的力学” 讨论了与跳跃和跑步有关的力学问题。文中对跳跃的分析建立在将物体简化为质点的基础上。这种简化模型可以解释跳跃的一些基本现象，但不能解释物体跳起后在空中的翻转现象。而这种跳跃加翻转的现象在体操、跳水、绷床、乃至杂技和戏曲武打中十分常见。

要解释跳跃加空翻现象，必须将物体视为刚体。若物体在解除地面约束以前，地面约束力 F_N 的作用线不通过刚体的质心 O_c，而是与过质心的主轴 O_cζ（图1平面的法线轴）存在距离 Δ。则起跳前约束力 F_N  在使物体的质心 O_c  向上加速的过程中，其对质心的力矩 F_N Δ 使物体同时产生绕 O_cζ  的角加速度。物体离地前不仅积累了质心的初速度，而且积累了绕质心转动的初角速度。腾空后的物体为无力矩状态，若保持质量分布状态不变，则绕 O_cζ 轴继续转动。若 O_cζ  是人体从右至左的额状轴，则向前或向后空翻。若 O_cζ  是从后背指向胸前的矢状轴，则向右或向左作侧空翻。

 图1  约束力作用线不通过刚体质心的跳跃

以图 1表示的物体绕额状轴的空翻运动为例。设刚体的质量为 m，弹簧刚度为 k，以弹簧在重力 mg 作用下的平衡位置为垂直轴 Oy 的原点 O，质心 O_c 相对 O 点的变形以坐标 y 表示，则速度为 v = dy/dt，约束力为F_N = mg - ky。设刚体相对 O_cζ 轴的惯性矩为 J，绕  O_cζ  转过的角度为 θ，角速度为 ω = dθ/dt。列写物体在离地前的动力学方程：

在 t = 0 的初始时刻，将弹簧向下预压缩至 x = -a，产生 F_N(0) = mg + ka 约束力。释放后约束力随弹簧变形的恢复而减小，直至 t = t_s 时刻，F_N(t_s) = 0 时约束解除。时刻 t_s  的起跳速度 v_s = v(t_s) 和角速度 ω_s = ω(t_s)  等于加速度 dv/dt 和角加速度 dω/dt 在 (0, t_s)区间内的积分。跳起腾空后物体处于无力矩状态，其相对质心的动量矩守恒。若无肢体动作改变其质量分布，且忽略短暂腾空阶段的空气阻力，则绕 O_cζ 轴继续转动，保持角速度 ω_s 不变。物体起跳后向上运动至最高点后转为自由落体。设从起跳到落地的腾空时间为 T，在此时间内若物体转过的角度 θ = ω_sT  恰好等 于 360⁰，则在空中转过一整圈，落地后物体仍保持跳起前的相同姿态不变。

   一种称为猴子翻身的有趣玩具可作为跳跃加空翻现象的实例作具体分析（图 2）。将这只猴子玩具放在桌上，拧紧发条，猴子先缓缓向前弯腰。然后突然后仰，腾的一下离地跃起，在空中翻转  360⁰  后稳稳落到桌面上，恢复与跳起前完全相同的端坐姿态。如发条开足，此动作可重复多次，直到发条完全松弛后停止。

                                                                                         图2   猴子翻身玩具

猴子玩具由躯体 B₁ 和 下肢 B₂ 两部分组成，在腰部以圆柱铰 O 联系。作为能源的发条机构和弹簧固定在 B₂ 上，发条和弹簧的另一端固定于 B₁（图 3）。拧紧发条时拉动 B₁ ，使其向前弯腰，同时拉伸弹簧。发条和弹簧的反作用力作用于下肢 B₂ 与桌面的支承力 F_N 平衡，使 B₂  保持静止成为固定支座。在弹簧拧紧过程中，发条中蕴藏的能量转换为弹簧的势能。当 B₁的弯腰动作到达某个极限值时，利用凸轮控制使发条突然断开，B₁在弹簧拉力的作用下退向后方转动，弹簧的势能释放为 B₁ 向后运动的动能。弹簧的作用力是系统的内力，其作用 于B₂   的反作用力必须与桌面的支承力 F_N 平衡转换为外力。则 F_N 的作用线必须向前方移动，以平衡弹簧反力对B₂  质心O_c2 的力矩（图 4）。当作用线移动到越出接触面的边缘时，支承力即突然消失，桌面的约束随之被解除。此时因 B₁ 的后仰运动使质心 O_c1 产生向上的初速度，猴子即离地跳起。因后仰运动产生的转动角速度使猴子腾空后继续向后翻转。适当选择玩具零件的物理参数，可使猴子在腾空过程中的翻转角度恰好等于 360⁰，猴子就能稳稳落在原地站立。详细的理论分析可参阅本文的附录。

图3  猴子玩具的构造

图4   猴子下肢的受力图（θ=0）

体操运动员的动作与猴子玩具的运动过程相似。只是人体的肌肉和神经代替了玩具的发条和弹簧。运动员先下蹲，然后突然伸展，带动躯体垂直向上运动，先加速后减速，当减速产生的惯性力与重力抵消，人体对地面的压力减为零时，约束即被解除。若人体利用适当的弯腰或倾斜动作使质心偏离支承力的作用线，则在约束解除前积累初速度的同时，也积累了相对质心的角速度。使其离地跳起时有足够的起始速度和角速度，以完成跳跃加空翻的动作。

若运动员在腾空状态下能通过肢体动作改变自身的质量分布，例如使双臂弯曲成反对称姿势，则在动量矩守恒条件下，仍可能完成在空翻时绕纵轴转体的所谓 “旋空翻” 的更复杂的空中动作（图 5）。博文 “运动员的旋空翻与欧拉 - 潘索运动” 对旋空翻运动的力学过程有详细的说明。

图5  旋空翻（引自网络）

    （改写自：刘延柱. 趣味刚体动力学(第2版), 1.12节. 北京：高等教育出版社，2018）

              附录：猴子翻身的力学分析