两位物理学大师波尔(Bohr,N.)和泡利(Pauli,W.)弯着腰被地上滚动的小陀螺吸引住了，他们全神贯注地观察这个旋转中的带短柄小球体突然翻身，短柄触地继续旋转的奇特现象（图1）。这张照片摄于1954年的5月，地点是瑞典Lund大学的物理研究所。照片中的这个称作Tip-top的小玩具曾引起物理学界的巨大兴趣。早在1800年Thomson爵士已注意到旋转中的卵石会出现翻转，1890年佩里(Perry)的著作里曾有过记载。翻身陀螺曾在1891年被慕尼黑的斯佩尔(Sperl)申请过专利，但因未支付申请费于一年后失效。直到1950年翻身陀螺玩具才被丹麦工程师奥斯特伯格(Østberg)重新发明并获得专利，他的灵感来自在南美洲看到的土著人旋转小圆果实的翻转现象。荷兰是最早生产出售这种有趣玩具的国家，曾风靡于加拿大、英国和全球。笔者在60年代也曾购到国产的塑料制翻身陀螺（图2），可惜现在市场上已难觅踪影。

                                 图1  波尔和泡利观察翻身陀螺

在关于“抽陀螺”的博文里，对地滚陀螺绕垂直轴稳定旋转现象已利用动量矩定理给出解释。依据经典力学中拉格朗日情形刚体定点运动的解析积分，还能做更严格的理论分析。但这些分析都不能解释Tip-top陀螺为何能翻身。

翻身陀螺两端的外形为不同半径的大小球面，陀螺的重心与两个球面的球心均不重合（图2）。当陀螺的短柄朝上，大球面与地面接触时，重心在球心的下方，陀螺保持静态稳定。当陀螺翻身为短柄向下，柄端的小球面与地面接触时，重心高于球心，静态不稳定。观察旋转中的陀螺，若重心低于球心，则低转速时稳定，高转速时不稳定。重心高于球心时则相反，低转速时不稳定，高转速时稳定。因此当转速达到某个临界值时，即出现翻身现象。翻身后陀螺的质心上升，势能突然增大，这也是物理学家感到困惑之处。鉴于拉格朗日刚体并未考虑摩擦力因素，Tip- top陀螺的翻身现象很可能是摩擦力作用的结果。这个结论很容易被实验证实，因为将陀螺放在充分润滑的地面上，翻身现象就很难出现。

图2  翻身陀螺玩具

1904年剑桥大学的盖洛普 (Gallop,E.G.) 首先注意到滑动摩擦对陀螺运动的影响。1937年俄国力学家克雷洛夫(Krylov,A.N.) 和1950年德国的格莱曼 (Grammel,R.) 在分析陀螺运动时考虑了摩擦因素，但不恰当地利用进动理论解释而得出错误结论。针对翻身陀螺的理论分析最早来自 1952 年荷兰 Rijks 大学的布拉姆斯 (Braams,C.M.) 和赫根霍茨 (Hugenholtz,N.M.)。同时期美国的物理杂志发表了一系列关于翻身陀螺的讨论文章。除个别观点以外，大多数文章均认为陀螺翻身的原因来自滑动摩擦。1963 年康坦苏 (Contensou,P.) 认为接触点快速变化的摩擦力接近与滑动速度呈比例。于是利用线性摩擦规律对滚动陀螺的稳定性和翻身现象作了严格的分析。这一理论在 1973 年出版的马格努斯 (Magnus,K.) 的陀螺力学著作中有详细的叙述^[1] 。1977年科恩 (Cohen,R.J.) 和1978年凯恩 (Kane,T.R.) 等应用数值方法在计算机上再现了陀螺的翻身过程。1981年萨姆松诺夫(Samsonov,V.A.)用相平面法做了定性分析。

上述对翻身陀螺的各种理论分析中，马格努斯著作中利用线性化动力学方程导出的受摩擦力作用的陀螺直立旋转稳定性判据更具有普遍意义。它不仅能解释陀螺翻身，而且能解释摩擦力改变刚体运动性态的更普遍规律。笔者于1987年曾将马格努斯的线性规律以非线性的库仑摩擦代替，用摄动法导出与线性理论相同的稳定性判据^[2]。基于此判据，本文对翻身陀螺及其他类似现象做出解释。为便于查阅，将文献[2]附在文末发出，供有兴趣深入了解的读者参考。

     设轴对称刚体在微粗糙平面上绕极轴旋转（图3）。忽略摩擦力对质心运动的影响，设质心 O_c 仅沿垂直轴运动无水平位移。以 O_c 为原点，建立垂直轴 O_c ζ，刚体的极轴 O_cz 相对 O_c ζ  的倾角为 θ。刚体在 P 点与平面接触，设P 点处刚体的表面局部为球面，曲率中心即球心为 O，P 点与 O 点相对 O_c 的矢径分别为 r_c 和 l，P 点相对 O 点的矢径为 r，则 r_c = r + l。设 h = r ± l 为极轴垂直时的最大质心高度，其中 O_c 位于 O 点上方时取正号，位于 O 点下方时取负号。极轴的稳态运动为绕直立的极轴以角速度 Ω 匀速旋转。刚体的质量为m，相对质心 O_c 的极惯量矩和赤道惯量矩分别为 C 和 A。引入以下无量纲参数：

，                                           Λ=C/A，ρ=r/h,  μ=mgr/AΩ²  ，                                                                    (1)

将无摩擦状态作为零次近似计算刚体在接触点处的的滑动速度，然后考虑接触点的库伦滑动摩擦，应用摄动法经过必要的数学推导，可导出刚体绕直立的极轴旋转的稳定性判据^[2]：

                                          ρ-Λ+μ(1-ρ)<0  渐近稳定，  ρ-Λ+μ(1-ρ)>0  不稳定                                           (2)

  图3  平面上绕极轴旋转的轴对称刚体

从判据 (2) 可以看出，考虑摩擦力的影响，刚体直立旋转的稳定性取决于多种因素，包括刚体的质量和质量几何、接触表面的曲率和曲率中心、质心的高度及相对曲率中心的位置等。判据未包含与摩擦物理性质有关的参数。摩擦力在推导过程中仅起了拐杖的作用，判据导出后消失。因此用库伦摩擦代替线性摩擦导出的稳定性判据完全相同。即使存在此不足，判据(2)对实际发生的各种具体现象能做出正确解释，仍不失为形式简明的实用工具。

        图4   (Λ, ρ)参数平面上的稳定域

为便于利用稳定性判据 (2) 分析各种不同情况的旋转刚体，在 (Λ, ρ) 参数平面上以直线 ρ = 1 和 ρ = Λ 划分为 4 个区域 D_i (i = 1,2,3,4) (图4)：

                                                 D₁区:        Λ > ρ >1

                                                           D₂区:        Λ < ρ <1

                                                           D₃区:     ρ >1,  ρ > Λ    

                                                           D₄区:     ρ <1,  ρ < Λ

其中D₁ 区和 D₃ 区内 ρ >1，即 h < r，刚体的质心低于底部曲率中心，D₂ 区和 D₄区内 ρ <1，即 h > r，刚体的质心高于底部曲率中心。依据判据(2)可以推断： D₁ 为渐近稳定区，D₂ 为不稳定区，D₃, D₄ 区内刚体的稳定性不仅与外形和质量几何有关，而且取决于旋转角速度 Ω。

图5   各种轴对称旋转刚体

对于几何形状和质量分布不同的各种刚体（图5），其旋转稳定性可基于上述推论做出判断。质心低于底部曲率中心的陀螺，一般情况下其绕直立轴的永久转动稳定 (图5a)。但如底部曲率半径过大或质心过低，则转速过快超过临界值时可丧失稳定性 (图5b)。例如在桌面上快速捻转一只图钉或围棋子，可观察到突然跃起的失稳现象。相反，如陀螺的质心高于底部曲率中心，其绕直立轴的永久转动一般不稳定 (图5c)，但如底部曲率半径过小或质心过高，当转速升高到超过临界值时仍可转为稳定。尖端触地的拉格朗日陀螺的稳定性即符合此规律，从而对已讨论过的 “抽陀螺” 问题提供了补充说明 (图5d)。(图5e) 和 (图5f) 表示 tip-top 陀螺的两种不同状态，是本文的主要讨论对象。

将短柄朝上大球面与地面接触作为状态1，应属于 D₃ 区（图6），短柄朝下与地面接触作为状态2，应属于 D₄ 区（图7）。将判据 (2) 涉及的参数增加下标 1, 2 以区分两种不同状态，令

                                                            h₁=r₁-l₁,  h₂=r₂+l₂                                                                              (3)

代入稳定性判据 (2)，展开化简后导出

                             状态 1：     Ω<Ω_cr,1：渐进稳定，    Ω>Ω_cr,1： 不稳定                                                 (4)

                                  状态2：  Ω>Ω_cr,2：渐进稳定，  Ω<Ω_cr,2：不稳定                                                   (5)

其中 Ω_cr,1 和 Ω_cr,2 为状态 1 和状态 2 介于稳定与不稳定之间的临界转速，分别定义为

                                      Ω_cr,1=                              Ω_cr,2= 

                                  ,                                                          (6)  

                                  图6  陀螺的状态1                                    图7  陀螺的状态2

从而判断：状态 1 在低转速时稳定，高转速时不稳定。状态 2 则相反，在低转速时不稳定，高转速时稳定。此判断结果与陀螺翻身的实际现象一致。。

      生活中还可观察到与翻身陀螺类似的有趣现象。例如使一枚熟鸡蛋的侧面触地绕赤道轴旋转，可跃起为尖端触地绕极轴旋转。这个靠旋转维持直立状态的鸡蛋被戏称为“哥伦布蛋”(Columbus egg)。产生此现象的原因也同样来自摩擦力的作用，即 (图5g) 和 (图5h) 表示的两种状态。由于 (图5g) 中的旋转轴并非极轴，刚体与地面接触点处的表面并非球面，不能直接套用稳定性判据 (2)。文献[2]中对绕赤道轴旋转的刚体也做了分析，导出与式 (2) 类似的稳定性判据。用于对鸡蛋侧面触地状态 (图5g) 低转速时稳定，高转速时不稳定；尖端触地状态 (图5h) 低转速时不稳定，高转速时稳定的现象做出解释。

      通过以上分析，人们对摩擦力有了更深入的认识。认识到摩擦力对物体运动的影响不仅限于起阻尼作用造成能量耗散。在某些特定情况下，摩擦力能使物体的运动性态发生根本改变。除翻身陀螺以外，另一个著名例子是所谓“凯尔特魔石”的倒退旋转现象，也是摩擦力的杰作。将在另文中叙述。

参考文献

1       Magnus K. Kreisel Theorie und Anwendungen. Berlin, Springer, 1971

  （中译本：K.马格努斯著. 贾书惠等译. 北京：国防工业出版社，1983）

2         刘延柱. 粗糙平面上陀螺的稳定性. 力学学报，1987, 19(3): 239~245

附：《 粗糙平面上陀螺的稳定性》

（原文载于：力学学报，1987, 19(3): 239~245；英文稿载于：Acta Mechanica Sinica,1987.3(3):278-285）