天平是一种衡器。从力学观点分析，天平又是一种特殊的复摆（图1）。特殊性在于：天平的横梁不是在垂直轴附近，而是在水平轴附近摆动。天平的历史很悠久。据考证，早在我国春秋晚期就已出现以竹片为横梁，丝线为提纽的天平。也有资料证明，埃及人在公元前1500多年已经会使用天平。天平在18世纪的欧洲使用十分普遍。一些物理学和化学的定量研究和重要发现，例如质量守恒定律的确定，都离不开天平的精确计量。天平以横梁水平表示两边重量严格相等。包括我国在内，许多国家都将天平作为法律面前公正平等的形象化标志。通常情况下，天平两边力臂的长度相同。如果将秤物一侧的力臂缩短，另一侧伸长，砝码用固定重量的秤砣代替，且能自由移动以调整力臂的长度。这种不等臂的天平就演变成为我国民间常用的另一种古老衡器，即杆秤（图2）。

               图1 天平                  　          图2   古人用杆秤测力

   通常认为，天平的称重是应用了杠杆原理。若天平两侧对支点的力矩相等，即作用力与力臂的乘积相等，天平就保持平衡。但这种解释并不确切。如果横梁的中点与支点重合，两侧力矩相等时天平就处于随遇平衡状态，在任何位置上都能平衡。如两侧重量不等就失去平衡，较重端的重力会迫使天平的横梁向下转动，然后在垂直轴附近摆动。可见天平的称重不能仅用简单的杠杆原理解释。

   天平由水平横梁和挂在两端的托盘组成。为避免出现随遇平衡，天平的支点 O₀ 必须移到质心 O 的上方使天平的重心低于支点。 将横梁的质量集中到两端，加上承载砝码和被秤物体的托盘质量，简化成两个质点附在无质量直杆两端 A 和 B 处的哑铃体。设支点 O₀ 与质心 O 的距离为 a ，左、右质点与 O 的距离均为 l（图3）。横梁倾斜时，左右两端的重力对支点 O₀ 的力臂 l₁ 和 l₂ 随横梁相对水平轴的倾角 θ 而改变。分别为

                                                   l₁ = l cosθ – a sinθ ,  l₂ = l cosθ + a sinθ

                                 图3  天平的简化模型

设左右质点的质量分别为 m₁ 和 m₂，令两端重力对支点 O₀  的力矩相等，即 m₁l₁ = m₂l₂，则合力矩为零。解出平衡状态的横梁倾角 θ₀ ：

_{从此公式可以看出，即使两边的重量不等天平也能平衡，但平衡位置是倾斜的。被秤量物体与砝码之间的重量差别愈大，倾角 θ0 就愈大。只有当两边重量完全相等时，即 m1 = m2 时，θ0 才等于零，天平才能水平。为保证秤量微小质量物体时天平有足够的灵敏度，参数 a 应选择得足够小。灵敏度愈高，支点 O0 与横梁中点 O 的距离就愈接近。若两端的质量相等，都等于 m，受到扰动后天平就在水平位置附近摆动。仅保留倾角θ的一次项，令两端托盘的重力对O0 点的合力矩 2mgaθ 与惯性力矩相等，就导出与复摆类似的动力学方程：}

_{利用线性振动的知识，可以确定天平的摆动周期为 T = 2πl/(ga)^1/2。天平的周期与待秤物体的重量无关，仅取决于横梁长度 l  和与支点距离 a  等几何因素。横梁愈长，支点与横梁中点愈接近，天平的摆动周期就愈长。设横梁的长度为 30cm，偏移距离 a 为 2cm，算出的周期约为 2 秒钟。要使天平的摆动静止下来停留在水平位置，必须在天平上增加阻尼装置。}

        _{天平称重的原理也完全适用于杆秤。仔细观察杆秤可以发现，悬挂物体的秤钩支点 A 稍低于提绳的支点 O。秤砣用线绳套在秤杆上沿秤杆移动，以秤杆的上缘 B 为支点。连接 A 和 B 的直线并不通过 O 点，而是向下偏离微小距离a。由于秤杆向端部逐渐变细，物体愈重，秤砣离提绳愈远，偏离距离 a 就愈明显（图4）。虽然这个毫米量级的微小距离 a 不大容易被注意到，却是保证杆秤正常工作不可缺少的重要因素。}

_{图4  杆秤}

         _{以上关于天平的分析是在均匀重力场的前提下作出的。因为天平的尺度远远小于地球，将地球的中心引力场近似视为平行的均匀重力场不会出现问题。但若将天平放到太空中，就必须考虑中心引力场的特殊性。设想有一个两端质量相等的哑铃形卫星在轨道内运行，相当于太空中以质心 O 为支点的一个超级天平。考虑地球引力与地心至质点的距离平方成反比，哑铃形卫星并非在任意位置上都能平衡。以质心 O 与地球中心 Oe 的连线为地垂线，与地垂线 OeO 正交的平面为水平面。哑铃体的对称轴只有沿地垂线和沿水平面的两个特殊位置为平衡位置。在除此以外的任何其它位置，地球引力相对质心的合力矩都不可能等于零。}

   _{在水平面内平衡的哑铃体受到扰动产生微小偏角时，两边的质点与地心 Oe 的距离即发生变化。与 Oe 接近的 A 端重力增大，远离 Oe 的 B 端重力减小，所形成的合力矩使哑铃体朝扰动方向继续偏转（图5a）。可见漂浮在太空中的天平是不可能保持水平稳定的。将哑铃体转过90⁰，处于与地垂线一致的另一平衡状态。当哑铃体受扰偏离地垂线时，重力的差异起恢复力作用，推动哑铃体回到原位（图5b）。由此推论，细长形的卫星只有细长轴与地垂线一致才是唯一的稳定平衡位置。这种利用重力使人造卫星自动保持姿态稳定的方法称为卫星姿态的重力梯度稳定。即使非细长形状的卫星，也能通过在星体上安装细长的平衡棒来实现重力梯度稳定（图6）。于是现代航天技术与古老的天平衡器之间就在力学原理上产生了联系。}

                                                                                     _{(a) 不稳定平衡　            (b) 稳定平衡}

_{图5　中心力场中的哑铃体}

                        _{图6    带平衡棒的重力梯度卫星}

                                           (原文载于《力学与实践》2011，33(5): 88-89)