在二战结束的1945年，美国一位名叫詹姆斯 (James, R.T.) 的海军工程师在做试验时，不留心将一根拉紧的软弹簧掉在了地上。他惊奇地发现，这根弹簧竟会不停地翻跟斗从一个台阶翻到下一个台阶。他将弹簧带回家试了多次，突发灵感，何不将这弹簧做成一个有趣的玩具。新玩具被他的妻子命名为 slinky，这个出自瑞典文的名词意为鬼鬼祟祟。因为弹簧的下楼动作十分诡异，很像一个人蹑足下楼时两条腿的交替移动。新玩具于1946年首次在费城的商场里亮相，400个 slinky 弹簧竟在90分钟内被抢购一空。1947年他为新玩具申请了发明专利，从那时起全世界出售的 slinky 弹簧已超过3亿个^[1]（图1）。1999年美国邮政发行纪念100个美国偶像的邮票里，slinky 弹簧作为上世纪美国发明的著名玩具也光荣地跻身在内。这个软弹簧玩具在我国也很风行，曾获得过 “机灵鬼” 的俏皮中文译名。后来涂上鲜艳的彩色，改成了更好听的 “彩虹圈” 名称。

图1  彩虹圈

彩虹圈是一个极其柔软的弹簧，通常用细金属丝或扁矩形断面的塑料制成，图2给出了供参考的几何数据。彩虹圈的弹簧刚度大约是普通弹簧的百分之一，不受力时所有的螺圈都相互接触，因此只能拉伸不能压缩。将弹簧的两个端面平放在双手的手掌上，将它弯成拱形，然后左右手交替上下移动，可以观察到螺圈自左至右或自右至左交替地急速翻滚。变幻的色彩如同天上美丽的彩虹，彩虹圈因此而得名。

彩虹圈最独特的本领是能自动下楼梯。将弹簧的两个端面分别置于楼梯不同高度的两级台阶上，放手以后弹簧的高处端部会突然跃起，弯曲，落到低处台阶，然后另一端部跃起，重复此过程，以翻筋斗的方式不停下降，直到楼梯的最底部才停止。

         图2  彩虹圈的参考数据                                            图3  彩虹圈的受力图

要解释彩虹圈为何能自动下楼，需要做些力学分析。不失一般性，设弹簧左端的支承面高于右端。将弹簧划分为3个部分：弯成拱形的 B₀，左端的短圆柱体 B₁和右端的长圆柱体 B₂（图3）。弹簧处于平衡状态时，B₀两端作用的力偶 M₁ 和 M₂ 必须大小相等方向相反。两个反作用力偶 -M₁ 和 -M₂ 分别作用于 B₁和 B₂。地面对弹簧的约束是单面约束，只能产生使弹簧受压的法向约束力F_N1和F_N2。将B₀作用的重力W₀视为左右两部分重力W₀/2 之和，B₁、B₂作用的重力分别为 W₁ 和 W₂，则约束力 F_N1 和 F_N2 应满足

                                                  F_N1 = W₁ + W₀/2，F_N2 = W₂ + W₀/2  

F_N1 和F_N2 的作用线必须分别向右和向左偏离弹簧的中心线，与重力 W₁ 和 W₂ 构成力偶，方能与 -M₁ 和 -M₂ 互相平衡。设M为力偶 M₁ 和 M₂ 的模，偏移距离 a₁ 和 a₂ 应满足

                                                       a₁ = M / F_N1，  a₂ = M / F_N2

单面约束的法向约束力 F_N1 和 F_N2 必须作用在端面范围以内才可能存在。设弹簧的半径为 a，弹簧保持平衡的充分必要条件为

                                                                         a₁ < a ,  a₂ < a

由于 W₁ < W₂，F_N1 < F_N2，则 a₁ > a₂。随着两端高度差的增加，W₁ 和F_N1 不断减小，a₁ 随之不断增大，法向约束力 F_N1 的作用点不断向弹簧底部的边缘移动。当 a₁ 增大到与 a 相等时，作用点抵达边缘，左半部分的平衡即处于临界状态。只要 a₁ 稍稍超过 a，F_N1 即突然消失而解除约束。B₀ 的左半部分立即向上跃起，受力矩 M₂ 的作用在空中顺时针向右旋转，同时朝反方向弯曲。一旦左端面越过 B₂，即在重力作用下向下加速坠落，直到与下一级台阶表面接触，完成一级台阶的下降过程。在新的约束条件下，弹簧原来的左半部分转变为右半部分，右半部分转变为左半部分。继续此过程，弹簧可连续不断地下降到楼梯的最底部。下楼过程的动力来自重力所做的功。

若将楼梯的台阶去除，就转变成倾斜的坡道。基于相同的原理，彩虹圈在坡道上也会以翻筋斗的同样方式向下方移动。据网络报导，有网友出于好奇将彩虹圈放在跑步机的传送带上，后部垫高使传送带倾斜。传送带就成为一个无限延长永远走不到底的坡道。跑步机一开动，彩虹圈在传送带上就如同人的左右腿交替迈步走动起来^[2]。于是彩虹圈能自动跑步的报导也就成为网络上热播的趣闻。

除了会下楼和会跑步，彩虹圈还有别的一些奇特现象。例如手执彩虹圈一端使其向下悬垂。突然松手，弹簧不会立即下落。其最下端会在空中保持片刻静止，同时上方各圈从顶端开始依次向下压缩弹簧，直至压缩到最下端后方开始下落。要解释此现象，可先观察一下悬垂的弹簧在重力作用下的间距变化（图4）。最上一圈弹簧因承受彩虹圈的全部重量，有最大的拉力和间距。然后往下递减，至最下端弹簧拉力减小到仅需与单个环的重力平衡。在松手的一刹那，失去支承力的最上圈被弹簧向下拉动产生最大加速度，往下加速度依次递减。以致各圈从顶端开始依次往下压缩。在压缩引起的弹簧间距变化传到最下圈以前，最下圈的初加速度和初速度均等于零，仍保持瞬间的静止状态。待短暂的压缩过程结束后，彩虹环方开始整体的自由落体运动。压缩过程中弹簧的重力与总质心下移产生的惯性力相平衡。

关于slinky弹簧，文献里还提出过一个有趣的 Spizzichino 问题：将一只 slinky 弹簧和一只重量相等的链条悬挂在天平的两端，底部贴近秤盘（图5）。将连接绳剪断，问弹簧与链条中哪一个落得更快先掉到秤盘上。参照以上对彩虹圈下落过程的分析，这问题的正确答案也就不难得出了吧！  

                               图4  悬垂的彩虹圈                                                    图5  Spizzichino问题

    参考文献

[1]    https://baike.baidu.com/item/slinky/10667438?

[2]　https://weibo.com/6192877242/UjWUty3A5?

（综合的两篇原文载于《力学与实践》，1996, 18 (3) : 70-72，及  2020, 42(3): 378-380）