欧阳耿先生可能是第一个认为调和级数存在悖论的人，也可能是唯一持有该观点的人。

见：

Zmn-0299 欧阳耿：调和级数悖论就是芝诺悖论的现代翻版--答薛问天先生的0293 和李振华先生的0297

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=755313&do=blog&id=1248530

    本文将分析欧阳先生认为存在调和级数悖论的理由，当然不一定正确。

1 存在调和级数悖论的可能“理由”之一

    欧阳先生在群里说过这样一句话（大意）：级数的第n项Un®0时，级数和大部分收敛，但调和级数是个例外。

    如果将这作为事实的描述，并无错误，但这并不构成悖论：“Un®0时，级数和收敛”只是通过不完全归纳得到的不具有普遍的结论，因此并不能因此认为违反该结论的反例的存在就构成了悖论。

比如说，我们不能根据“学理工科的大都是男的”就认为“所有学理工科的都应该是男的”。

除非欧阳先生能够用严格的演绎方法证明：Un®0时，所有的级数和都收敛，这时，调和级数的存在才会成为一个悖论。

    所以，这不能成为存在调和级数悖论的理由。

2 存在调和级数悖论的可能“理由”之二

    欧阳先生另一个可能的理由是，既然无穷小量可以忽略，那么，n趋于无限时，趋于零的Un显然也是无穷小量，应该也可以被忽略，于是调和级数不收敛就成了悖论。

    作为加数（减数）或被加数（或减数）的无穷小量，其有限的加和虽然常可以被忽略，但并不意味着所有的无穷小量都可以被忽略。

    例如，作为乘数（除数）或被乘数（被除数）的无穷小量就不可以被忽略。

    这些都不过是数值计算中最简单的原理，在任何一本计算数学的第一章甚至引言部分都会阐明这一点。

    因此，所谓的贝克莱悖论根本就不存在，瞎胡闹而已（详细分析见附录）。

即使是加数（减数）或被加数（减数），也并不是一定可以忽略。例如，当高阶无限小量和低阶无限小量相加减时，通常只有高阶无限小量可以被忽略。

而且，从来没有人也不可能有人证明过无限个无限小量相加也一定可以被忽略。事实上，无限个无限小量相加可能仍然是无限小量，也可能是一个有限数（李振华已经给出了一个很好好的例子，见Zmn-0297 李振华：欧阳耿的调和级数悖论是低级错误 ，http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=755313&do=blog&id=1248365

），还可以能是无限大。

    例如，易证，当n趋于无限时，n个无限小量1/n^2的和也是无限小量，n个无限小量1/n的和等于1，n个无限小量1/n^.5的和是无限大。

    既然存在上述例子，怎么可能有人能够证明“无限个无限小量相加也一定可以被忽略”？既然如此，又有何理由认为调和级数的发散是一个悖论？

    所以，这也不能成为存在调和级数悖论的理由。

3 一些看法

    所谓严格的演绎证明，不但要求前提绝对可靠，推理的每一步也都要做到像“1+1=2”一样绝对清楚可靠。只要做到这两点，哪里还会有悖论的藏身之处？

    所有的悖论源于且仅源于思维不严格。说谎者悖论，芝诺悖论，罗素悖论，贝克莱悖论等概莫能外（见Zmn Zmn-0279 李鸿仪： 评薛问天先生“悖论不是逻辑推理的错误”一文 。http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1245164.html，主要内容见附录）。

可惜真正具备严格思维能力的人凤毛麟角。逻辑学家罗素的思维尚且很不严格（否则哪有罗素悖伦？），何况他人？

附录 Zmn-0279 的主要内容摘录

摘录1关于说谎者悖论

    对于否定式表述“A是错的”，句子的对错与主语A的对错正好相反：如果A是错的，句子就是对的，如果A是对的，句子就是错的。如果A并不指句子本身（即不是自指而是他指），当然不会有任何问题，然而，在说谎者悖论里，主语A即“本语句”恰恰指句子本身（自指），当然会发生矛盾。

也就是说，一会儿把“本语句”当主语，一会儿把“本语句”当句子，这符合同一律吗？如果连同一律都不遵守，这个推导会是可靠的吗？

当然，自指不一定会产生悖论，比如“本语句对”就没有悖论，但这并不意味着这种说法没有问题。例如，“人是木头，木头是会思考的，所以人是会思考的。”前两句都错，恰恰推导出来的结果是对的。这种错错得正确的现象的存在使得我们不能只看结果。所以，虽然“本语句对”没有悖论，但仍然是不可以的。因为它违反了同一律。

至于“本语句错”，就更不用说了，不但违反了同一律，而且还产生了悖论。

摘录2关于芝诺悖论

    芝诺不过是把原本可以用有限方法计算的追赶问题改成需要无限次计算的算法，但计算次数的无限并不等于计算结果的无限，这里混淆的是计算次数和计算结果，如果不混淆也不会有悖论。

摘录3关于罗素悖论

    罗素把集合分成平常集和非平常集两类，然后定义了一个由平常集组成的“集合的集合”R，然后问，R是平常集还是不平常集？于是产生了悖论。

    先打一个未必恰当的比方，小家庭原来只有夫妻两个人，后来孩子出生了，问这个孩子是父亲还是母亲？

如果日常生活中有人问这样的问题，肯定被人认为是精神错乱了：先有父母才有孩子。后来出现的孩子怎可以与父母相提并论呢？岂不是因果颠倒了？

    其实罗素就是这么做的，所以同样的问题也可以问罗素：先有平常集和平常集才有R。后来出现的R怎可以与平常集和非平常集相提并论呢？岂不是因果颠倒了？

    但罗素认为集合的集合也是集合，为何不可相提并论？

    那么人们是否可以这样认为：父母是人，孩子也是人，为何不可相提并论？

    当然，以上都只是一些并不严格的比喻。严格的分析是这样的：

    集合的集合是以集合为元素的，所以与集合并不相同。但在罗素的心目中，他的集合概念一会儿是指集合，一会儿是集合的集合，违反了同一律，所以他的推导是错的。

    事实上，即使我们把集合的集合也看作集合，那其实已经是不同于原集合的另一类集合了，怎么可以与原来的集合混在一起？

    由此可见，罗素悖论也是源于违反同一律的错误推导。

摘录4关于贝克莱悖论

    如果A 远远大于B,那么

    A+B≈A

但

    AB¹≠A

    A/B¹≠A

    为了便于讨论和理解，不妨设A=10ⁿ, B=10^-n, 这里，n 是一个较大的自然数

则

A+B=10ⁿ + 10^-n，

n 趋于无限大时，

A+B≈10ⁿ =A               （1）

但无论 n 为多少，

AB =1≠ A                    （2） 

A/B= 10²ⁿ =A² ≠A             （3）

    总之，n 趋于无限大时, B =10^-n是一个无限小量，该无限小量在（1）中可以忽略不计而当作零处理的，在（2）（3）中却绝对不可当作零。

    也就是说，能否将无限小量当作零是要看情况的，不能一概而论。一般，作为加数或被加数的无限小量才可能被当作零。

    然而，贝克莱在推导中却偏要一概而论，要么都当作零，要么都不当作零，于是产生了悖论。

摘录5关于对角线和无限的定义方面的错误认识

    除了经常性的概念混淆、因果倒错、逻辑循环等逻辑错误外，很容易出现的一个错误是推导步骤的错乱。

    平时我们说，饭要一口一口吃，事情要一步一步做，推导也要一步一步推。

    在计算机上，第一步没有算好时是绝对不会进入第二步的。这是因为，第二步的计算往往要用到第一步的计算结果，第一步都没有算好，第二步如何进行？

    但人的思维就不同了，有的人可能比较性急且不够仔细或过于自信，不屑于小心翼翼地一步一步地推导，而是自以为是地一股脑儿把一切都“算好”了，从而会出现很多隐蔽的错误。

以康托的对角线法为例：

如果考虑两位二进制有限小数，2位二进制小数总共有4个，即可列出以下4个二进制小数

x1： 0.1 0

x2:  0.0 0

x3:  0.1 1

x4:  0.0 1

其中的对角线元素是下划线所示的 1，0，令b=0.10, 取反后得到 b’= 0.01。

    显然，b’并不等于对角线所经过的x1,x2之中的任何一个，但却是x3,x4中的一个（x4）。可见，在有限情况下，要证明b’不是所列出来的任何一个数，对角线是不够长的。

    有的人会自作聪明地想，对角线可以延长的呀，问题不就解决了？

    然而，问题会这么简单吗？有的东西是“牵一发而动全身”的，并不是随随便便就可以动的。

    事实上，延长对角线只会使得对角线更不够长。这是因为，延长对角线就意味着增加了小数位数，既然小数位数增加了，可以列出来的小数数目还会只有原来那些吗？例如，如果延长到3位小数，可以列出来的小数数目为何还是只有4个？不是应该有8个了吗？结果对角线更加不够长！

    难不成对角线可以无限延长，所列出来的实数却是有限的（例如只有4个），不能再增加，那还叫无限集吗？如此“双标”，难道不是错得离谱吗？

    所以，如果老老实实、一步一步地推，会发现无论是多少位小数，对角线永远是不够长的^[1]。在无限的情况下当然也不会例外。这是因为

    无限不过是有限的无限制延伸而已。

    这可以看作无限的定义。

    如果连什么叫无限都没有定义，讨论无限问题不也是瞎胡闹吗？