本论“终极大自然观”的根本贡献首先是视透了实数集的结构及其本质，然后是发现了它通透着（印兆着）大自然（即“大自然观”），这既是眼界的大解放也是检验所有前沿性成果一个锐力武器。

不过，在终极层次它不是数学能直接证明和物理学能直接验证的，只能靠人的原有认知功能作哲学“思辩”（因此它阻遏着人们跨越这最后一关）。

再说，人的前沿认识功能（从深度广度细度和抽象度上说）不是大家完全一致的，所以只能借助统计性判定，相信正确理论的统计性“信任度”是会越来越高的。

具体说来，本论通过“数学寻根”揭示出构成三维几何空间的“实数集”映兆了（对应着）终极大自然，反之可说，终极大自然本质上皆能“投影”到三维实数集上来。

可是，实数集中映兆（对应）我们宇宙的，只是（拥有逻辑属性的、0测度的子集）有理数集，而具有全测度的（对应着终极大自然约95%成分的、无逻辑的）无理数集对于宇宙来说只是其背景和辅助成分，不可思议？“原来”无理数集映兆的是超越宇宙空间的终极抽象的空间层次“超空间”。

序：流行中数学不仅被比喻为“象牙塔”更是个“倒锥塔”，这也是较为贴切的比喻，本文拟对“倒锥塔”这点作作咀嚼（同时兼谈与物理学的关系）。

一、数学的“倒锥塔”概念

可简述为，数学“倒锥塔”本质上是以三维有理数集作为“基底”的一项“人类筑建工程”，具体说是在该“基底”上以基本的代数、几何作（具有虚实“二象”本质的）互动推挽，从而涌现、迭生、拓展着的逻辑工程；

作为“塔”的空间（空间=（元素，关系）），则是有理数集（元素）上的运算演绎（关系）；

作为“塔”的结构特征，则是“十则”运算支撑起来的数学宝塔，颇具层次性，是逐层抽象、上升和扩展着的。

尚须强调的：

一是“倒锥塔”的现在还在继续抽象提升和拓展着，从物理学宏观空间讲（据本论）将哲学地趋于终极大自然；从逻辑空间内在讲（据哥德尔不完备定理）是没有收敛日的的；

二是“倒锥塔”的各层是逐层抽象的每一层对其前各层都是具有涵容或叫沟通性的；

三是实数集中的无理数集是“浸泡”着整个倒锥塔的（参见“本论摘要”）。

二、“倒锥塔”的骨架：十则运算

尽管从整体上说，数学是以“数”（代数）与“形”（几何）作二象互动（分分合合）中提升和扩展的，但作为其倒锥塔的“骨架”应归为以“十则”运算为主体所产生的层次结构及其拓展。

特别注意到运算中的“逆运算”威力，每个逆运算都使得数学领域大为扩展。

1、算术层：

即在自然数集上作加、乘及其逆运算形成的“四则”，特别是加、乘的逆运算使得自然数集上升到了整个有理数集，同时在几何上（线段之比）产生了三角函数。

附注：

一是通常已习惯于直接把有理数集作为（定义为）数学的“基底”这是可以的（下同）；

二是即使来自“自然数集”上的算术问题至今都还在挑战着数学（因其答案远不在算术之中，这也说明自然数集的基底性）；

三是在今天计算机科学、信息科学、数字世界等等都是直接依赖有理数集的（续后）；

四是注意到四则运算（或其本质）已体现在数学的各个层级中；

五是注意到四则中值得敬佩的是（在还没有无穷概念时）对0尚能产生“犹豫”（须知0与无穷有着内在关系，在没有无穷概念时能把它独立考虑并直接作为有限数来用，是需要有魄力的）。

2、代数层：

即满足“六则”的数学，这时乘方的逆运算“开方”产生了无理数（无穷概念）及虚数i（复数），大大地拓展了数学领域，，

附注：

一是六则给出了物质的完全运动“平移+旋转”，平移已为四则给出，旋转则体现在“i”中（此外，旋转也表现在向量式的四则运算中，续下）；

二是六则对应到线性空间即为矩阵代数，因矩阵代数能体现诸如旋转伸缩之类仿射性质，亦属完全运动；

三是六则体现的“完全运动”尚属牛顿空间层次的（典型的）逻辑特征，以下的运算（本质上）进入到对应量子空间层次的了。

3、函数层：

即满足“八则”的数学，这一来便形成了广泛的“函数论”（大的如实函、复函、泛函等）大大的提升升华了数学的范畴。

特别是指数运算的逆运算“对数”不仅拓展了经典的函数范畴，至今还在开发出它新的“蕴含”（比如，最近有中国汪一平创立的“圆对数”理论在数学运算中提出一套新的对数符号（及其方法）突破了代数方程求解的5阶限制且大大推进了AI的算力等）。

附注：

一是因其“八则”中的指数函数（e^ti）更加活跃提升了三角函数；

二是出于函数形式的广泛性，往往也是对应到量子空间层次（非典型逻辑领域）的启底姿态；

三是比如其傅里叶级数、调和分析等能使之充分进入到（电子科学不可少的）波频分析领域，意义重大。

4、微积分：

即满足“十则”的数学，这是在哲学争辩中升华成的微积分学并“爆炸性”发展成种种微分概念，以及微分方程理论和方法的（广泛深入的）“分析学”，其进一步发展、应用和拓展之势也是广为人知的。

附注：

一是微分学启底于“有理数集及其‘稠密性’”，因此它深含哲学（被哲学纠缠了两百多年）；

二是“稠密性”的本质是体现了无理数的性质，当年鲁滨逊的“非标准分析”正是揭示并建立在这一实质上的；

三是它通联了牛顿空间和量子空间，所以微积分（学与法）具有全面的应用范畴；

五是不可能有十则以上的具有如此广泛性、基础性的运算法则了，尽管近现代数学有了“爆炸”性发展创生了若干新数学亦然。

三、“骨架”的进一步认识

1、各个层级（作为空间）的元素集是它以上各“则”运算得到的（实则无穷多）成果集，然后在其上作关系（映射），所以，即使数学的现代前沿也能看到四则运算的影子；

2、在此骨架之下，还陆续创生了越来越多可谓“分支”性的理论与方法学科，诸如抽象代数学，现代代数学（归为代数学），调和分析，复分析，随机分析（归为分析学），现代几何学，动力系统，张量分析（归为流形上的数学），以及组合论，规划论，优化论（归为运筹学（应用数学））等；

3、数学的一切内容根本上都是启底于实轴的（具体说是启底于自然数-整数-有理数-实数，然后做出推广演升的），但是并非各个分支学科都要直接启底于实轴，不同的启底层级有其不同的特色。

4、即使计算机学科，其分支也是启底于不同层级的，已经从初等的 {0,1} 上标量的布尔代数层级，提升到向量式（矩阵工具）具仿射功能的层级了（信息容纳量呈指数级增长了）。

5、上述表明数学倒锥塔是从运算法则及其逆运算的拓展中逐步累积成的，是最为全面的，此外，还可从多个方面捋出它的历史脉络诸如数学危机史、无穷概念深化史、数论多个分支演化史等等。

四、“倒锥塔”空间的层次结构

1、总地说，倒锥塔的逐级抽象和拓展特征可归为三点来强调：

一是倒锥塔总体（典型的）属于逻辑空间，又被“誉（喻）”为“象牙塔”，因其纯数学成分可以不计应用，仅依赖数学内在的问题推动其发展，典型的如数论（类）问题以及初等几何中的问题类等。

二是倒锥塔中内容皆可投影到（相对狭小的）基底“有理数集”上作计算处理，原因是，计算的都是（概率1的属于）近似值，所以才有了科技现实繁茂的数字时代。

不过，数学思想及其新创意等是无法投影到计算上去产生的（思想高于公式）！

三是倒锥塔的塔顶是（开集）“开”的，是成长着的，那里也是思想的世界。

2、倒锥塔与无理空间关系：首先，无理数集在数学中的地位是辅助性、背景性的，比如倒锥塔中的发散性和无穷性问题即是通向它的。

其次，无理数集所映兆的超空间是“充满而不占据”整个倒锥塔的，或说整个倒锥塔（从逻辑空间看）是沉浸在无理数集对应的空间层次中的。

五、物理学的伴随特征

数学与物理学的关系虽然密切，但也是具有实质性差异的，主要是数学的逻辑属典型逻辑，而逻辑是宇宙的运动属性，从这点上似乎数学是属于物理学的，但毕竟数、理都是基础学科，各自都有自己特有的使命，

比如，数学使命的一个重要方面是彻底雕琢逻辑“象牙塔”（不过本论表明是不可能彻底的，即使从哥德尔不完备定理也能说明这点）；使命的另一方面则是应用于（或说配合物理学）对物理世界的描述与刻画，自上世纪物理学进入量子世界以来更是这样的了。

至于物理学自身的使命，那就是“实证”，或可特别地叫做“证实”，因为，通常的实证概念包括物理的实验成果和数学的定理结论两个方面。

此外，也可说物理学在数学的“倒锥塔”中起到的作用仍然是背景和辅助（简称伴随特征），这点与无理数集在数学中的作用有些类似？不过仅仅是有些类似而已，具体说无理数集对数学是弥补性的（从更抽象层次弥补其完备性），而物理对于数学则是环境性的（从实在面提供课题与应用检验）。

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