本讲志在促进对大自然概念的理解和接受。

“点处”是颇富哲理性的，即使对其作单独的理解也可以产生对大自然的觉醒；这既是对数学基础的一次巩固，也是对逼进终极大自然概念的一种促进。

甚至可说，吃透了“点”及其邻域就算吃透了大自然。尤其是现代科学各个方面都进入到深入细腻的前沿微观状态下，加上对“点处”的深刻认识更是得力之举。

特别在认识到大自然后再回头来看，更将体会到“点处”的基础性及其重要意义。

这里将站在大自然高度以俯视的姿态来简略描述一下“点处”，也是不无裨益的。

一、点处之奥妙

1、0的玄妙及其意义：

悉知，0符号的引入是迟至公元200年左右的事，为什么？显然它是来自哲学，表明古人对0的哲学认识之深刻性。

的确，如今明白了，哲学上的0可是对应着无穷的（通常算式中用到的0只是技术意义下的）。

例如，坐标系原点之0即是具哲学性的，因其在反演变换下是对应于无穷的（或说是调和序列{1/n}的极限值,可见0与∞具有“调和”关系），再则由于坐标系（从而原点）可在空间中移动到任一点，于是任一点皆可对应0，可见空间中任一点皆具有对应于无穷的本质（将知道这是事实，莫非超空间“充满而不占据”宇宙空间的一种体现罢了）。

2、有理点的奥妙：

（1）悉知，实轴是数学最为习惯的基地，已知其虚实二象结构中的有理数集测度为0（实轴上随机取一点则“概率1”地是无理“点”），但是，有理数集是数学的“基底”，通常的操作实际上都是在有理点上（因无理数集之中不存在点概念），再加上有理数集的稠密性，有理点必有无穷小邻域（形成“有理、无理”间逻辑上的阴阳两界结构）。

反之，若没有无理数集就不可能有此稠密性了，因此说是无理数集造成了“点处”的复杂性和深刻性。

（2）从物理学角度说，首先，物理学的“质点”含义以及信息技术中的“存储”和“神经元”等都具有这一“点处”本质；

其次，“点处”特征也是能量“动”本质的“时-空性”形成的。

当然，这两种特征都是数、理共同的（即所谓数理意义的）。  

（3）再从极限的局限性也可看出“点处”的奥妙性。

首先说，极限概念作为一种方法在（第二代）微积分学中是起到了重要作用的。

但是，在微积分学进一步的基础性分析中（包括在本论中）却失去了它的地位。

由此表明，这一在高等数学中的重要手段，即使在一般的“点处”分析中也表现出了它的局限性，其实仍然是“点处”深奥性的表现。

的确，实际上极限只是对无穷“序列”性问题在趋向无穷时给出一种“趋势”，并没有也不可能抵达目标点，本质上可谓“跳”过无穷小邻域而达到目标点的。

二、“点处”结构之谜

1、结构之谜：

关于“点处”的结构问题，至少从发现无理数开始（毕达哥拉斯时期）即产生了，并随着“无穷”对数学的伴随与挑战而行进，一直（像无穷概念那样）隐藏着它的奥秘。

比如，任一区间上的点集之所以可1-1对应于整个直线上的点集，皆因（有理）“点”处的结构深刻性所致。

也因此，至今都还在“点处”的空间结构问题上，一直存在着哲学性争论（不能不说这里也成了锻炼思维的一个基地）；

尤其是，悉知的微积分学中，“微分”概念的探索历程也典型的表现为揭示“点处”奥妙的过程，（按流行说法）自17世纪后半叶（牛顿-莱布尼兹的）“第一代”微积分法开始，激烈争论到19世纪中叶形成了“第二代”微积分学，再到20世纪60年代（鲁滨逊的）非标准分析“第三代”微积分学问世，再到21世纪初（张景中院士的）“第四代”微积分学构成等，仍然不能说这方面的研究和开发已达到极致了吧。

特别的，当代大科学汇聚成的计算技术中，一般的即是对“点”的逼近，实际上是游弋于“点处”及其附近的，真正达到目标点的概率为0。

注：已得知，“点处”在数学上对应于“有理点”及其无穷小邻域；在哲学上是对应于其“基本点”的。

将得知，“点处”在物理学上只能是“基本上”对应于量子世界的“基本粒子”，因为（尚须承认）基本粒子是浸泡在超空间中的，亦即量子前沿是处于所谓“信息空间”中的，这里的是非典型逻辑。

比如丘成桐艰苦得证的11维“卡-丘空间”即是这样的抽象空间（特别在细胞底层更应该是充满这样机制的“点处”结构）。

2、意义认识：

其实，数学之难往往也体现在对“点处”结构的思维训练上，若能把它看作锻炼思维的一个“靶项”来看待，是容易克服畏惧心理的。

现在我们的教育已经意识到培养思维习惯的重要性，这里也是一个很好的领地，是培养（科研中十分重要的）系统“微观”思维能力的好地方。

具体说，现代科学前沿皆已进入到微观世界（及其反演），在那里不只是空间尺度的微观，更是逻辑进入到非典型情形，本质上就是“点处”的逻辑特征问题，因此不能不说对“点处”的思维训练是利于提升微观世界研究能力的。

特别的，在“点处”上下的功夫对于当前科技前沿诸如AI工程的创新也是不无裨益的。

注：再次唠叨，之所以“点处”有如此的复杂和奥妙，皆因有无理数集在作祟，对应到客观世界则是其完全结构中还充斥着（不属于宇宙却“影子”般影响着宇宙的）“超空间”。

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