序：不能不说本论虽是思辨式叙述，但也是出自数学（或叫数理）思维的，堪称“没有数学的数学”，毕竟本人是学数学的（不敢冒昧其它专业），早年也是热衷建模的，后因进入“终极大自然”理论这一颇具思辨性特征的领域，才形式上离开了建模，但是对模型和建模反而有了更深的领悟。

原因是，“终极大自然”研究中为着范畴的终极拓广，必然涉及到层层关隘的突破，必然涉及到数学数理的思维（只是形式上构成的是哲学思辨而已），过程中必然地体会到建模与系统分析的深刻关系及其意义（甚至有一种难以言表的心境）。

比如在第七十七讲中谈到数、哲关系时即有朋友领悟道，通过数哲关系的理解，对数学模型的本质认识似乎更有新意了，显然应该是这样的。

特此，本讲再对数学建模问题作一次讨论，当然仍然是思辨性叙述，只在最后引述一个模型简例。

一、数学模型

悉知“数学模型”是用一套（数学符号体系和规则构成的）“数学语言”描述出的“客观系统”（=元素+关系）。

之所以如此特殊（非白话语言），是为着准确表述对象系统的需要（也是历史演化优化而成的必然规律）。

根本原因在于，数学（从而“数学语言”）是建立在有理数集上的（其基本元素是几何“点”），这与（涉及到实数集的）人的“生活语言”具有实质性差异（后者的基本元素是“点处”即“几何点+无穷小邻域”）。

具体说来，作为数学模型的“实施”过程具有如下几个基本步骤。

二、数学建模

1、建模过程

可归纳为如下三步：

第一步是“思考”，且是关键一步，那就是围绕所建模型系统的目标（任务）作出充分的思辨性分析思考（调查研究），力求吃透它。

第二步是“描述”，即用数学语言表述出心中（对系统的）白话语言思考（思想），当然，表述应该是完整的、严格的，包括各符号含义及形成模型的前提条件等，需要予以明确交待，所形成的是模型初步，叫做“初模”。

注：同一个问题的建模手段和渠道都可以是非唯一的，比如可从不同专业角度去建模，当然是存在优劣性差异的。

第三步是“修改”，即比对着系统的具体实际，对“初模”作出修改，可以说任何模型都是经历修改甚至多次修改而成的，特别是优秀模型（名模）更可说是“凑”出来的，当然真正成功与否还得经受进一步的检验（续下）。

2、思想重于公式

显然这绝不是说只要思想不要公式（否则就不是数学了）。

这是说，对于任何公式（包括推理前的模型式和推理得到的结论式），不要把注意力（技术性地）放到公式的符号形式上去，

而是要（思想性地）提升到认识、理解它（或说接受融汇它）。

事实上，整个数学过程中也都是贯穿着思想、思维的（即数学思维的）或说是由它导引着的。

此外，网上流行的似乎认为给出数学模型即是数学描述的成功了，这是不对的甚至说这还不算是数学呢，真正的数学在于其数学“刻画”，数学刻画的根本则是如下运作过程。

三、模型的运作

也就是对模型做出纯粹的逻辑推演、迭代、分析等“运行过程”。

一方面，这一过程正是数学体现其核心内容、主体贡献（也是占主要篇幅）的地方，

另一方面，由于运行过程是纯粹客观的、逻辑的，防避了主观因素参与，这才是显示数学纯粹性的时候。

四、运作结论出现的问题

运作结论可能出现两类问题（或叫两种现象）：

（1）所谓“发散性”问题

过去认为结论收敛（有限形式）才是成功，其它的归为发散，归为失败。其实所谓“发散”的本质莫非是系统通向无理数集罢了（皆因那里没有点概念、没有逻辑，问题变得更“复杂”罢了），但作为现代科学不应该回避它，也就是需要去直面它。

比如椭圆函数问题，费马问题等之所以复杂即是问题归结到无理数集上去了造成的。

（2）结论的“正确性”问题

结论的正确性决定于“前提”（模型）的合理性。

简单说，任何正常模型都是可以进行运作分析的，因此都会有其逻辑结论（假设推演正确）。

但是，该结论是否合理（特别对于科学前沿的非直观性下），需要作进一步评判。

原因是，逻辑空间的“基底”是有理数集（离散点集），其上的逻辑空间是个细密网络（超级“丝瓜绒”），原则上任一给出的模型（初始条件体系下）都存在相应的（逻辑推演）网路通向其结论，至于结论是否合理（是否存在）即决定于初始的条件体系是否超越了“丝瓜绒”。

因此，需要的是严格检验模型中的各种条件（比如，能得出虫洞、时隧之类离奇结论者，其模型（模型的初始思想体系）即是值得严格考察的）。

五、模型的逻辑问题

也就是数学的逻辑问题，属于典型逻辑（牛顿逻辑），但随着不同的空间层次，则有不同的表现，比如：

1、注意到逻辑空间是宇宙空间的运行属性，而人类总结描述出的逻辑，是具体的牛顿空间（典型的）运行属性，叫做“典型逻辑”（这是因为人的进化直至“意识”，其环境都是直接的牛顿空间的缘故）。  

至于在量子空间这一层次上的逻辑，则属非典型的了（数学的基本元素是几何点，非典型的则属几何点经衍变情形了）。

此外，还有个空间层次则是超（无）逻辑的，叫“超空间”层次。

2、既有的数学模型，本质上都是在牛顿空间的典型逻辑上建立和运行、分析的，原因是（已知）数学的逻辑是“典型逻辑”，是牛顿空间的运行属性，对于超出这种（正常）情形的续下。

3、注意到对于超越于牛顿空间层次的问题来说，其数学研究用的仍然是牛顿空间“典型逻辑”。

具体说，既有的研究手段是首先把问题提升到牛顿空间来，然后再用牛顿逻辑分析（所以更为复杂）。

比如，薛定谔方程，面对其超越于牛顿空间层次的量子世界，不可能直接对量子施行牛顿方法（典型逻辑）。

薛氏想出的策略是，提出了个“波函数”概念，将量子对象提升（映射）成了牛顿世界的对象（以波函数为基本元素），于是即可对其执行典型逻辑的推演了。

同理，对于诸如狄拉克方程、麦克斯韦方程等等量子世界的数学模型都是这一思想的作为。

又如，卡拉比-丘空间，也正是卡拉比猜想的“真空非空”空间远非牛顿空间，其逻辑必然远非典型逻辑，要证明它更需要探索、创造新的途径，目标仍然是纳入牛顿空间以作典型逻辑的研究，从而艰辛地探索出了卡拉比-丘空间，创新了几何分析学完成了大业。

六、大自然一个抽象图景直观（消遣）

这里的直观本应有个构图但本老朽实难做出（兹免图上直观）。

1、假设有一个平面块（如黑板），其中充斥着超空间Y，注意到Y的性质：它是超能、无点概念、无时空概念，因而无逻辑（在逻辑上超空间仅相当于一个几何“点”）；

2、设Y中均匀填满“尘埃”记为X，X代表沉浸在Y中的所有物质系统，即X宏观地代表了宇宙空间；

3、设Z是X的运动属性即“逻辑空间”（其基底是X中抽象的有理数集），亦即Z是蕴含于X中并进一步沉浸在无逻辑的Y中的(本质上具有 Z ᴄ X ᴄY 关系，每个有理点z ᴄ Z可在Y中任意移动，但Y相对不动（因其无逻辑）；

4、Z作为X的逻辑空间（属性），其中包含了丰富而繁茂的数学科学，但Z的空间层次是高于X空间层次的（属信息空间）。

亦即从物质角度Z是蕴含于X内的，但从信息角度Z是覆盖X的（此即，信息具有的“双重性”）。

注：这里的宏观空间结构关系还算不上数学模型，没有推演机制，也就是还没有数学。