理解哥德尔定理

一、哥德尔定理的表述

哥德尔受谎言悖论“此话为假”的启发，提出一个命题：“此命题不可证”。并用此命题证明出如下定理：

1. 一个不弱于初等数论的形式系统，如果是一致的，则是不完备的。

2. 任何不弱于初等数论的形式系统，如果是一致的，其一致性不能被该形式系统自身证明。

二、形式系统特性

1. 可靠性

每一个公理和定理都表达了在所属的形式系统中真实的可以发生的事实。

2. 完备性

形式系统中所有可能真实存在的事实都可以用公理或定理来覆盖，没有漏网之鱼。也就是说：任意给出一个使用形式系统已定义或可定义的概念做出的论断，要么可以证明为真，要么可以证明为假。即：不能纳入定理集合的论断，就一定是假的。

3. 一致性

形式系统中的所有定理和公理，相互之间不能出现矛盾，即指出或依赖两种相反的事实。

三、形式系统

具有一个公理集合，用于陈述一些基本事实，默认假设无需为这些陈述的正确性提供证明，也就是约定先接受这些假设是不需要证明的，即这些事实都是基本的、天生就存在的事实，是不可否认的，于是可在这些事实基础上进行推理。

这说明，形式系统是用来推理用的。

于是，所谓的形式化，就是需要将一个推断纳入某个形式系统中去，如果不存在，就要构造一个形式系统出来，让这个推断，是可以从形式系统的公理集合出发，按照逻辑规则进行推理得到的正确陈述，才叫形式化了。这样的推断，也叫这个形式系统的定理。

所以，形式化系统还包含一个定理的集合，集合中的元素是基于公理集合和逻辑规则可以推演出来的事实陈述。

在推理的过程中，可能需要对一些经过组合产生的事实元素进行标识，以便通过这些标识来代替组合形成的事实元素，简化复杂事实的陈述。这个操作就叫做下定义，得到的标识和元素组合描述内容的成对关系，就是“定义”。

一个定义就是形成一个新的概念。所以，在形式系统中，还存在一个概念集合。

容易忽视的是：公理系统还需要一套逻辑规则。逻辑规则是一个与具体的事实描述无关（适应所有事实描述）的一套真假关系判定的演算规则。对一个陈述判定为真，则表示该陈述的事实是在本形式系统规定下的“正确”事实，为假，则表示在本形式系统中，该陈述的事实是错误的，是不可能存在的，即，是无法通过公理推理来“制造”出来的事实。

小结：形式系统包含四大组成要素：公理集合，概念集合，定理集合，逻辑规则。其中的概念集合是非必要的中介要素。形式系统的作用就是：

1. 在公理集合的基础上利用逻辑规则进行演算得到新的定理，充实定理集合。

2. 证明一个新构造出来的假设论断（猜想）是、或不是形式系统中的定理。

四、理解

哥德尔“证明”了：一个封闭的形式系统要么一定会存在内部产生矛盾，要么其证实能力一定不能覆盖所其上有可能产生的“事实”。