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刘瑞祥：面积的剖分相等与拼补相等
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上一篇博文发表后蒙多名博主推荐，特此感谢，但也有朋友私下和我交流时让我觉得自己没把概念说清楚，这里说一下有关内容，无关的就不说了。
所谓剖分相等，是希尔伯特提出的概念，如果两个面积相等的多边形，把其中一个分成有限份以后，能够重新组合成另外一个，就说这两个多边形是剖分相等的。
图一，把十字形阴影部分切下三角形ABC，变成ADE，其余部分同样变化。此为剖分相等。
与之对应的概念是拼补相等，对于面积相等的两个多边形，如果分别添加上同样的若干个全等形（但是组合方式不同），能够组成大的全等形，那原来的两个多边形就是拼补相等的。
图二，每个图形各加上四个直角三角形，变成全等形，此为拼补相等。
下面只谈剖分相等。希尔伯特断言，任何两个面积相等的多边形，一定剖分相等。而且，剖分相等都有传递性。
两个等底等高的三角形一定剖分相等（因此面积相等）的证明如下。
1.在同一直线上等底等高且相邻的三角形剖分相等。
图三，见图自明 2.任何两个等底等高的三角形彼此剖分相等。 将这两个三角形相等的底对齐，另外的顶点分别位于底的两侧。过顶点C和C'分别作高CE和C'E'，连接CC'。
图四 如上图，当CC'与底AB有交点D时，因为ABC和ABC'等底等高，容易知道，CD等于C'D。根据上右图可以知道因此整体是剖分相等的。 如果CC'与AB边不相交，设CC'约AB的延长线交于点D，则：
图五 依据欧多克斯-阿基米德公理，一定存在一个整数n，是的AB延长n倍后，长度超过AD。 又，根据前面的第一步，三角形ABC与BB1C、BB1C与B1B2C、...、Bn-2Bn-1C与Bn-1BnC的每一对剖分相等，所以根据剖分相等的传递性，ABC与Bn-1BnC剖分相等。 而根据前面第二步可以证明，Bn-1BnC和Bn-1BnC'剖分相等。再次利用剖分相等的传递性，即得证三角形ABC和ABC'剖分相等。 得证。 （参见《几何基础》，钱端壮著，高等教育出版社1959年出版，P146-148） |
原著还有任意两个面积相等的三角形剖分相等的证明，就不引用了。
前面用到了阿基米德公理。希尔伯特说，等底等高的三角形要做到剖分相等，必须用到阿基米德公理。其证明如下：
假设阿基米德公理不成立，即没有一个整数n，使得ne>a。 如图，两个等底等高的三角形ABC和ABC'，有共同的底AB=e，其中AC垂直且等于AB，C'D垂直AB的延长线于D，且AD=a。容易知道，三角形ABC的最长边BC<AB+AC=2e。 设ABC和ABC'是剖分相等的，则两者能分成有限多且彼此对应全等的k对三角形。其中，ABC里每个小三角形的边或者在三角形ABC的边上或者在其内部，因此这k个小三角形的最长边都不会大于ABC的最长边，更不会大于2e。所以这k个小三角形的全部边长之和一定小于6ke。 将这k个小三角形重新组合成ABC'，全部边长之和不变。而这“全部”边长一定含有AC'的全部。即AC'<6ke。而a<AC'，更应该有a<6ke。于是和前面的假设矛盾。 得证。 |
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