我在阅读《几何基础》时遇到一个问题，恳请科学网的老师答疑解惑。

　　《几何基础》里说到，等底边等高线的两个三角形，恒剖分相等，然而我们要注意，这种证明不用阿基米德公理是不可能的。（P45）书中随后给出了证明。但是我受到网络资料的启发，感觉好像未必如是，因此把自己的困惑写在下面。为了说明问题，我把我思考的过程分成三个部分。

一、任意长方形都和等面积的正方形剖分相等。

图一

　　图一的左图是矩形ABCD的短边大于长边一半时的作图，BF为AB、BC的比例中项；中图是矩形短边小于长边一半时的作图，AE为AB、BC的比例中项；右图是矩形长边恰好等于长边一半时的作图，十分简单。以上见图自明，不再赘述其具体作图过程及证明。

　　值得注意的是，这里显然没有用到阿基米德公理。根据多边形面积剖分相等的传递性（《几何基础》定理43，P43）可知，任何两个面积相等的长方形，在无须阿基米德公理的条件下，彼此也剖分相等。

二、任何三角形都和等面积的长方形剖分相等。

　　下面是一个三角形ABC与矩形剖分相等的作图，其中角C是最大的角。这里也没有用到阿基米德公理。

图二

三、结论

　　根据前面的作图结果，任意两个面积相等的三角形（当然也就更包括等底等高的三角形），因为都能和等面积的矩形剖分相等，而等面积的矩形也和等面积的正方形剖分相等，因此等面积的三角形彼此也剖分相等。可以图示如下：

图三

　　而以上均未用到阿基米德公理。因此，根据剖分相等的传递性，任意两面积相等的三角形，无须阿基米德公理就可以证明彼此剖分相等。

四、补充说明

　　作为一名十八线学渣，我当然不敢说希尔伯特的论述是错误的，我也无意成为立志推翻某大人物或者大理论的那种“民科”，但是以上确实是我的困惑，不知道哪位朋友可以帮到我，给我看看我的错误在什么地方，比如在什么地方隐晦地暗含了阿基米德公理而我不自知。

本文所引用的《几何原本》，是北京大学出版社2009年版。文中提到的阿基米德公理是指，若AB和CD是任意两线段，则必存在一个数n使得沿A到B的射线上，自A作首尾相接的n个线段CD，必将越过B点。

前面提到受网络启发，主要说的是第一部分的中图，见https://zhidao.baidu.com/question/182732425.html。

ps.

有论者认为，我前面的分析没有考虑到细长而且非常倾斜的平行四边形（见下面的左图），姑且不论前面压根没有涉及平行四边形，是借助矩形来论述的。即便是细长而非常倾斜的平行四边形，如果连接两短边中点，并过这两个中点做长边的垂线，亦可将此平行四边形变为剖分线相等的矩形（见下面的右图），然后就能够按前面内容做了。

图四