国内对一维氢原子模型的量子力学研究的介绍，基本还停留在国外1960年代的发展水平．先有一个一维空间，在其中定义库仑势函数，然后求量子态．但是，一维氢原子势函数奇异的程度，能刺破空间．也就是说，结果发现这个势函数并不在定义的空间中，而是定义在两个独立的半维空间中．

不妨把把被能刺破空间的势函数称之为最奇异的势函数．

有些函数在数学上具有很高的奇异性，但是这些函数不会出现在物理世界中，不予考虑．

————————插播：杨正瓴电磁学佯谬————————

8月份在天津呆了一周余．我的办公室和博友杨正瓴兄的实验室只有十分钟的步程之遥，却一直没能找到时间畅聊一番．曾经设想来一场不打(羽毛球)不相识，也没有成功．在仅有的一次短叙中，他给出了一个电磁学佯谬：

两根平行且通有同向电流的导线间有吸引力．但是，(他在)实验中发现，密绕的长螺旋管在通电之后，同向电流导线间不是吸引力，而是排斥力．为什么?

这个佯谬的版权属于正瓴兄．

我曾给出了一个解答，不过由于太匆匆，正瓴兄未置可否．

————————插播完————————

势函数的奇异性只有在量子力学中才能说清楚

为了说明最奇异的势函数能刺破空间，考虑一个强度为 $\gamma$ 的零程吸引势能 $V(x)=-\gamma \delta (x)$ ．这个系统仅仅存在一个束缚态 $\sim$ $exp(- \kappa |x|)" style="font-family:宋体;$ ，能量为 $\sim -\gamma ^2$ ．这说明函数 $V(x)=-\gamma \delta (x)$ 相当乖巧．考虑粒子从左边入射．很容易给出透射系数为：

这也是一个漂亮的结果！

问题是，当强度 $\gamma \rightarrow \infty$ 时，“束缚态”就是 $\sqrt{\delta(x)}$ ．参见wiki_Deltapotential．量子力学容许存在奇异态．所以，如果有人引经据典认证这个奇异“束缚态”的合理性，也不足为奇．但是此时透射系数 $T\rightarrow 0$ ．这说明了什么? 这说明这个时候，空间分割为两个互不通信息的两个半无限部分．或者说，x=0处是一个不可穿透的壁!

原来在x=0处的“束缚态”是定义在全空间中的函数，现在全空间变成了两个完全分隔开的半无限空间，“束缚态” $\sqrt{\delta(x)}" style="font-family:宋体;$ 根本就不能定义!

如果利用经典力学，由于没有势垒穿透，无法说清楚空间是否分隔开来．而利用量子力学，势函数的奇异性一目了然．在这个意义上，量子力学比经典力学简单!

从一维氢原子模型出发得不到一维氢原子

一维氢原子模型指的是一个负电荷-q在一个质量无限大的正电荷Q中的运动，最简单的情况是Q=q=e为电子电荷．电势能为，

国内的文献介绍这个问题时，往往还会说这个系统存在一个“基态” $\sqrt{\delta(x)}" style="font-family:宋体;$ ．的确，有很多历史文献曾经论证这个基态的合理性．但是，从上面介绍过的现象可以发现，如果这个“基态”存在，空间会被刺破!  事实的确如此．同样考虑粒子从左边入射．不难发现透射系数 $T\rightarrow 0" style="font-family:宋体;$ ．这个时候，空间又一次被分割为两个互不通信息的两个半无限部分．或者说，x=0处是一个不可穿透的壁!

这就是一件很吊诡的事：从一维氢原子模型出发得到的是两个半无限空间中的氢原子，或者说两个半维空间中的氢原子，每一个都是三维氢原子中零角动量的情况．

原来，一维全空间中的库仑势函数本性顽劣，相当于 $V(x)=-\gamma \delta (x)$ 强度 $\gamma \rightarrow \infty$ 的情况．

 结语

一维全空间中定义的一维氢原子，是一个自相矛盾的理论模型．可以有多种方式来修正，其中最简单的方式，就是定义在两个半维空间中．

一个势函数的奇异性和空间的维数相关，在二、三维空间中的库仑势 $-1/r$ 的奇异性和一维势 $-1/r$ 的奇异性完全不同．前者是一颗绿草，后者却是一壁高墙．