考虑一个体积为$V$ 的弹性固体磁介质，在其中施加均匀磁场$H$，我们知道，当磁化强度$M$增加无限小量$dM$ 时，外电磁场对整个介质做功$∫HdMdV$ （不计真空磁导率），其中$M$ 表示磁化强度，定义为单位体积内所有磁偶极矩的总和。由于磁化强度是均匀的，$M$ 在整个介质的每一点都取相同的值。在文献中，我们有两个不同的结果，一个是 $∫HdMdV=Hd(MV)$ ，另一个是$∫HdMdV=VHdM$ 。这两个结果的不同之处在于前者是$Hd(MV)=VHdM+HMdV$。这两个结果是不同的，问：$Hd(MV)$ 还是 $VHdM$ 哪一个是正确的？

Mandl（在他的经典著作《统计物理学》第二版，John Wiley，1988，第22-23页）认为两者是等价的。为方便起见，附上了相关页面。

我的回答：

磁场 $H$ 相当于力 $F$ ，$dm$ 相当于 $dx$ ，其中 $m=MV$ 和 $x$ 都必须是广延量。因此，只有 $HdΔm$ 是合法的，其中 $Δm$ 是小体积 Δv 中的总磁偶极子。一旦接受了这一点，$HdΔm=Hd(ΔmΔvΔv) = HdMΔv$ 其中 $M=ΔmΔv$ 。只有在这个意义上，$∫HdMdv$ 或 $∫HdMdV$ 才有意义，其中 $ΔM$ 和 $Δv$ 都包含广义力 $H$ 作用的广义位移的响应。

因此可以说，只有 $Hd(MV)=Hdm$ 是正确的。

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网友 hyportnex 对我回答的评论(附Google 翻译)

I see what you mean but I think you got confused by the intensive/extensive distinction made in chemical thermostatics. That distinction has no real relevance to force fields with non-local interactions. A density of the extensive quantities of electric charge and polarization or gravitational mass is not extensive even though they are directly affected by the forces of the field. In practice, you cannot avoid accounting for the forces/work/energy per unit mass or per unit volume, check out magnetostriction. The distinction between intensive and extensive quantities is not foundational. – hyportnex Commented ago 

我明白你的意思，但我认为你对化学恒温学中的强度/广度区别感到困惑。这种区别与具有非局部相互作用的力场没有实际关系。即使受到场力的直接影响，广度电荷和极化或引力质量的密度也不是广度的。在实践中，你无法避免考虑单位质量或单位体积的力/功/能量，请查看磁致伸缩。强度和广度量之间的区别不是基础性的。– hyportnex