以真空中光速作为不变常数的传统狭义相对论，只适合处理真空中二惯性坐标系统S和S’的物理学问题，它限制了在不同介质里（或在真空和介质里）讨论两个惯性坐标系统S和S’之间物理学方程的换标问题和因此而生的有关相对论的物理学问题。在不同介质中建立德布罗意（de Broglie）波—粒速度关系式就遇到了这个问题。

按德布罗意（de Broglie）假设，一切实物粒子都具有波粒二象性。质量为m，并以速度u运动的粒子，就有一定波长λ和频率ν的波与之相对应。表征粒状性质的物理量，如能量E、动量P和表征波状性质的物理量，如波长λ、频率ν之间满足关系：E = h ν，P= h /λ，h为普朗克常数。de Broglie波的相速度v_p=νλ=w，即波面传播的相速度w；群速度v_g = u，即粒子运动线速度u 。

设在真空惯性坐标系统S内，一个质量为m的实物粒子，其波状速度（相速度）为w，粒状速度（线速度）为u，由于w =νλ= (E/h)(h/P)=(mc²) /(mu) = c²/u，所以波—粒速度满足关系式：

                    u w = c²        （1）

假设有另外一个与S系相对运动的S’系（S’系当然可以在某一各向同性无色散均匀介质中），S中观测S’沿S的x轴方向运动速度为v，光速为c；S’中观测S沿S’的x’ 轴方向运动速度为v’，光速为c’。请问：de Broglie波—粒速度关系式（1）在S’系中应有怎样形式？

如果de Broglie波—粒速度关系式满足相对论协变性，那么我们可以应用波面传播相速度w和粒子运动线速度u在S与S’间的变换关系来得到S’系中的de Broglie波—粒速度关系式。

假设粒子沿x轴方向运动，根据真空中光速为不变常数c的传统狭义相对论的坐标变换，可以得到粒子运动线速度u在S与S’间的变换关系为：

u' = (u–v)/(1–uv/c²)       (2)

波面传播相速度w在S与S’间的变换关系为：

           w' = (w–v)/(1–wv/c²)      (3)

将（2）与（3）两式相乘，并运用w= c²/ u ，则得到:

                   u' w' = c²       （4）

这就是在各向同性无色散均匀介质S’系中的波—粒速度关系式吗？

       仔细分析一下，这个结果显然是有问题的。因为如果考虑在充满各向同性无色散均匀介质的S’系中原点发出的一束光波，介质的折射率是n，则波面传播的相速度 w'= c /n ，将光视作为粒子，光子运动线速度u'= c /n ，那么 u' w' = c²/n² = c’² ≠ c² 。这个明显的矛盾怎么解决？

   这是用传统狭义相对论处理介质中相关物理问题时遇到的问题和矛盾。莫勒（C.Mɸllre）著《The Theory of Relativity》^[1]是相对论的经典名著，他在书中第Ⅱ章用传统狭义相对论处理运动介质中光波的行进或光能随光子传播问题时，就是徘徊在这样的困难和矛盾的歧路上，处于碰壁回头无缝可钻的困境^[1]。（参阅C. Mɸller, The Theory of Relativity , [M], London : Oxford Press. 1952 , ChapterⅡ, 31-66）。

书中把介质中光波的行进或光能随光子传播当作是真空中惯性系S内受处理的物理学问题。但是一开始就得用与介质紧紧缚在一起的另一个真空中惯性系S’，写出从S系和S’系的共同原点O（O’）发出的一束光波在S’系中的传播方程：x’² +y’²+z’² –w’²t’² = 0 ，w'= c /n ；然后应用传统狭义相对论的换标公式将这方程从S’系变换到S系，成为书中的（Ⅱ75）式。通过这样一个换标关系，把运动介质中传播的光波转化为S系内处理的对象。得到的这个光传播的方程（Ⅱ75）显然不是S系内的光传播方程，因为S系是在真空中，真空S系中看到的光传播方程应该是x² + y² + z² – c² t² = 0；但当S和S’无相对运动时方程（Ⅱ75）却变成了x² + y² + z² – w'²t² = 0， w'= c /n。这个方程只能说是从S系观点去“设想”S’系中光传播的方程，它既不是S系内的光传播方程，也不是S’系内光传播方程（因为用的是S系的空时坐标）。另一方面，S系内的光传播方程是x² + y² +z² – c² t² = 0，如果应用传统狭义相对论的换标公式，将此方程从S系变换到S’系则成为x’² + y’² + z’² – c² t’² = 0 ，这显然也不是处在介质中的S’系看到的光传播方程（因为介质中的光速不是c，而是w'= c /n ≠ c）。S和S'的相对运动（不必假定谁动谁不动），导致对同一束光描述上完全不对称的结果，这是明显违背相对论的相对原则的。

 出现这个矛盾结果是因为这里所应用的传统狭义相对论的坐标变换公式，是从x² + y² + z² – c² t² = x’² + y’² + z’² – c² t’² = 0导出的，这是传统狭义相对论的基础，用相对论处理一个用方程式表示出来并不符合于这基础的物理学对象，可以想见有多大的勉强和迁就，其结果导致的矛盾是可想而知的。书中此后在推算S和S’系中光波的能量传播速度（即光子粒状运动速度）u及波面传播速度w的变换关系时，都只应用Lorentz换标公式S’→S的一面，将介质中S’的有关物理量变换到真空中的S 中去，避开不用逆变换S→S’ 。这样就可以在介质中避开不用x’² + y’² + z’² – c² t’² = 0，以免和处理的物理对象的x’² +y’²+z’² –w’²t’² = 0 ，w'= c /n ≠ c ，发生冲突。其实，依传统狭义相对论的空时坐标正反变换，很容易求得代表粒状运动的光子传播线速度u和u’，以及代表波状运动的波面传播速度w和w’在S和S’之间的正反变换关系。但是，莫勒（C.Mɸllre）千方百计地只运用这一面倒（而不是两面通）的传统狭义相对论，而且工作做得十分细致。如：（1）他导出S系中代表波状运动的波面传播速度方向的公式参考文献[1]中（Ⅱ77）式时，自己明确说是运用[1]中（Ⅱ71）式的“反方程式”，这“反”字是指相对论换标公式的反向意义，即逆变换。由于他导[1]中（Ⅱ71）式时明确用的是S→S’ 变换关系，这一“反”之后，就等于在导[1]中（Ⅱ77）式时是用了S’→S 。（2）他在导出S系中代表粒状运动的光子传播线速度u的公式参考文献[1]中（Ⅱ86）式）时，自说是由解算他的[1]中（Ⅱ47）式得出，而不是用其“反方程式”来表示，即不是通过反向换标的逆变换求得。原来，他的（Ⅱ47）式是用代表S’→S的换标公式导出的；所以这回他要通过“解算”（Ⅱ47）式，以避开用代表反向换标S→S’的变换。

尽管这样小心翼翼地用传统狭义相对论一面倒地处理介质内光波行进问题，还是不可避免地出现无法遮掩的形式矛盾。莫勒（C.Mɸllre）在书中得到的结论是：（1）由原点发出的光波，在运动介质内的S’系中看其波状面是球面，光线与波面法线重合，也就是说代表粒状运动的光线传播速度方向和代表波状运动的波面传播速度方向是相同的。而在S系中看其波状面已不是球面，它在xy平面上的截线是个椭圆，光线与波面法线已不重合，所以在S系中，代表粒状运动的光线传播速度方向和代表波状运动的波面传播速度方向是不相同的。（2）如果在S系中de Broglie 波—粒速度关系式成立，即有 u w = c² ，那么在S'系中同样有u’ w’ = c² 。仔细分析可以发现这两个结论是存在矛盾的（如本文开头所述）。首先，用传统狭义相对论换标关系处理真空中S系和介质中S’系变换时，从S’→S变换中“解算”和从S’→S的“反向”逆变换S→S’ 中得到结果是不统一的。如果求S系中代表粒状运动的光线传播速度方向θ 时，不从S’→S变换中作解算，而由反向S→S’ 变换求得，再假设在S’系中也有“u’ w’ = c²”，将它代入后与求得的代表波状运动的波面传播速度方向α比较，则显然，若在S’系中α’= θ’，则在S系中也定有α = θ。也就是说，在S系中代表粒状运动的光线传播速度方向和代表波状运动的波面传播速度方向也是相同的。这明显和C.Mɸller在书中得到的结果自相矛盾！他精心地选择了S’→S一面倒的途径来处理相对论招牌下的介质内光波的行进问题，将上述应得到的α = θ的结论掩盖着。他不曾想到这问题是无法用传统狭义相对论来处理的，依他得到的结论看运动介质内的椭圆状惠更斯行进波群，是瞎子摸象摸半边的机械想象结果。另外，C.Mɸller将de Broglie波—粒速度关系式引入到相对论，只明确地写出：如果在S系中有u w = c²，那么在S’系中同样有u’ w’ = c²，并未就这重大结论作详细证明。其实，这很容易由相对论速度变换关系来验证（如本文开头所述）。但是他没有做，原来他碰壁了！他书中的（Ⅱ73）式明明是w'= c /n；他书中的（Ⅱ87）式明明是u'= c /n；所以他的u' w' = c²/n² = c’² ≠ c²。面对这样明白无法遮掩的形式矛盾，怎能不作说明，不了了之呢？这说明传统狭义相对论在处理不同介质里（或真空和介质里）的物理学问题时确实存在局限性。

在预印本[3]中（Na Dong，Dong Jun, The Special theory of relativity in different media (Ⅱ)[OL].[2021-4-12], DOI: 10.21203/rs.3.rs-403773/v1），我们对上述问题有详细的分析可参阅。

董钟林先生早在1963年就一针见血地指出传统狭义相对论的局限性，提出必须以x² + y² + z² – c² t² =x’² + y’² + z’² – c’² t’² （c’ ≠ c）为基本不变量，建立光速可变的狭义相对论来打破这个局限性。在预印本[2]、[3]中我们根据先生的研究工作，推导了光速可变狭义相对论的坐标变换公式、速度变换公式、波传播特征量（频率、相速度、波面法线方向）的变换公式。应用这些公式，并注意到 v/c = - v’/c’ ，容易得到粒子运动线速度u在S与S’间的变换关系为：

u' = (c’/c) (u-v)/(1-uv/c²)       (5)

波面传播相速度w在S与S’间的变换关系为：

           w' = (c’/c) (w-v)/(1-wv/c²)      (6)

与传统狭义相对论的对应公式相比，仅右边多乘了一个因子(c’/c)。将（5）与（6）两式相乘，并运用w= c²/ u ，就得到各向同性无色散均匀介质S’系中de Broglie波—粒速度关系式:

                     u' w' = c’²       （7）

   （7）式表明:可以将真空S系中的德布罗意（de Broglie）波—粒速度关系式u w = c²  推广到介质S’系中，成为u' w' = c’² ，使其在不同介质内不违背物理学脱离观测坐标系统而客观存在的相对论原则而具有协变性。在[3]中，我们还证明：如果在S系中粒状运动的速度方向和波状运动的波面传播法线方向重合，则它们在S’系中也重合；这重合性不因惯性坐标系统的不同而异，即使在不同介质里也是这样。这就自然解决了莫勒（C.Mɸller）用传统狭义相对论处理运动介质中光波的行进或光能随光子传播问题时遇到的困难和矛盾。

有必要对以上结果作进一步申论。c（或c’）作为S（或S’）内观测得“速度群”的“上限速度”，也就是相对论中速度的特殊加法能加到的“上限数值”。并不包含任何涵义说撇开这特殊非欧几何矢量加法就不允许物理世界存在有超过“矢量加法极限”的速度数值。因此，相对论与德布罗意（de Broglie）波—粒速度关系式是水乳相融的，它允许u和w（或u’和w’）之一的数值大于c（或c’）。最明显的意义是取(6)式和 (5)式来讨论：不仅是w < c（或u < c）的时候与v’ 作加法，虽越加越大，但总无法加出w’ > c’（或u’ > c’）；更奇怪的是在w > c（或u > c）的时候与v’ 作加法，却是越加越小，但又加不出w’ < c’（或u’ < c’）。直截了当将（6）式和（5）式相乘，在右方分子分母的乘开的四项中取u w = c²，则自然得出左方的u' w' = c’²。这是将数学的“无限大”数值意义突破欧氏几何矢量加法，从两头搬到现实观测用的惯性坐标系统S（或S’）中的c（或c’）数值上。即：相对论是允许de Broglie对运动质点的粒状和波状观点两面并存的，是一致，而不是矛盾！上面二式相乘的证明强调这一致与惯性坐标系统本身的运动速度无关，完全符合相对论原则。从中已十分明白，没有必要再画蛇添足说狭义相对论里的光速应是能量传播速度，而不是相位传播速度。也没有必要再怀疑为什么相对论要捧出光速这个基本问题；更没有必要试图用它种速度代替光速，走真正形而上的途径另外建立其它什么“新相对论”^[4]。我们所称“光速可变”是指S中的c变为S’中的c’，但是原原本本仍强调c是S中的常数和c’是S’中的常数。

 参考文献

 [1] C. Mɸller, The Theory of Relativity , [M], London : Oxford Press. 1952 , ChapterⅡ, 31-66

    [2] Dong Jun, Na Dong, The special theory of relativity in different media (Ⅰ) [OL].（2021-4-9）,

            DOI: 10.21203/rs.3.rs-403193/v1     ； https://www.researchsquare.com/article/rs-403193/v1  

    [3] Na Dong, Dong Jun, The Special theory of relativity in different media (Ⅱ)[OL].(2021-4-12), 

           DOI: 10.21203/rs.3.rs-403773/v1  ； https://www.researchsquare.com/article/rs-403773/v1

    [4] 徐惠敏，从力学相对性原理推导特殊相对论力学，物理学报[J]，12（6）,1956: 651—654

         王竹溪，钱临照，彭桓武，批评与意见，物理学报[J]，14（5），1958：428—430