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揭开相对论中的“两钟之谜” —走进董钟林的相对论研究（4）
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“两钟之谜”，又称“时钟佯谬（clock paradox）”或“孪生子佯谬（twin paradox）”，是自相对论诞生之日起就一直在各国相对论学者之间讨论的问题，多年来解法殊途，答案玄异，参考文献颇多[1]—[7]。谜是这样说的：两个同样的理想标准钟在一起校对好后，相互等速运动彼此分开（不必由第三者来判定那个走，那个不走）。根据相对论相互间对时间观测得到的关系式 △τ’=(1–v2/c2 )½△t和△τ=(1–v’ 2/c’ 2 )½△t’，两个钟旁边的观测者都认为自家的系统是静止的，而发现对方等速运动的钟变慢。然而当相对等速运动停止后，两钟又回到同一个系统内来了，究竟是哪一个钟真慢了呢？如将两钟比作一对孪生兄弟，其中一位乘接近光速飞船遨游太空，那么当他们重新见面时哪一个会变得更年轻些呢？
这个问题所以成为谜，就在于所有的相对运动都必然是两系统间的相互相对事情，不仅在相互等速运动坐标系统里是这样，即使考虑到两钟的开步和立定以至转头，也不好将其必不可少的加速度就现实人为的动力授受区别，凭所谓“物理条件”来判定两钟的主客之分。这涉及广义相对论的核心，根据等效原理，加速度也必然是时空舞台上两系统间相互相对的事情，重力场和一所封闭而加速行进的实验室是等效的，所以两钟都可自认定是在“等效的重力场”中来看对方。你如何看待我，得出什么结论；我也可以同样看待你，得出同样结论。一般相对论著作及文献都脱离上述的相互相对本质（而这正是相对论的精髓），片面地（而不是对称地），研究这问题。如果撇开这 “谜”应全部相互相对称的原题本意，不惜引进“加速度”和“动力授受”的物理条件，这不仅无助于解开这谜，而且极易由形式逻辑得出一些形而上学的可笑论断，如“天上方一日，人世已千年”之类的荒唐结论。这谜涉及相对论的根本，必须从正确认识相对论的时间和空间的基本观念和相互观测时产生的“钟慢”、“尺缩”效应入手。
和任何认真严肃的相对论研究者一样，董钟林先生也对这问题作了深入的思考，他依相对论基本观点认为，相对论中的“钟慢”、“尺缩”公式给出的仅仅是两个相互等速运动惯性系中，客观存在的固有时间（空间）数量△τ’、 △τ（△l’、 △l）和主动地去观测认识对方测读出的观测时间（空间）数量△t、 △t’ （△x、 △x’）之间在认识上的关系。事物客观经历的“固有时间”是不会变慢变快的；同样，客观存在的“固有空间”也是不会伸长缩短的。其间有“谜”得以成立，是因为还没有现成的公式给出两个惯性系中的两个固有时间数量△τ’与△τ之间及固有空间数量△l’与△l之间的关系，或作为观测坐标系统测读出的两套观测时间数量△t与△t’之间及观测空间数量△x与△x’之间的关系。为了补足这其余的四个关系，董钟林先生严格证明了：随时随处两个相互等速运动惯性系中，各自客观存在的两个固有时间、空间数量相等，即△τ’ = △τ，△l’ = △l ；主动地去观测认识对方相互测读出的两个观测时间、空间数量也相等，即△t =△t’， △x =△x’ ；从而揭开了在相对论自洽性讨论中一直存在着的这个谜。
下面我们就详细介绍这一研究结果。
时间和空间是物质存在和运动的形式，也是物理数量的基本量纲。任何一个事物都不会在时间或空间上停留下来，都是理想、均匀地渡着时间，也同样渡着空间；这就是事物客观存在的固有时间（proper time）和固有空间（proper space）。怎样体会、认识时间和空间并用最满意的科学方法表达、测量时间数量和空间数量？这是物理学研究的最基础问题。显而易见，空间的被认识和客观存在是直接结合的现实行为；时间的被认识虽然和客观存在也是直接结合，但其现实行为颇欠明显。因为任何一个理想中的标准钟都不如一根理想的标准尺那样现实有据可靠。如果每个坐标系统内随时随处安排有标准尺，可以无拘束地测量属于它的空间数量，尺相对该坐标系是静止的，那么测读的空间数量就是固有空间数量。如果尺相对坐标系统运动着，这时测读出的空间数量与其固有空间数量就有区别，这是经典物理学未深入认识的问题。同样，理想均匀时间的数量是对一个固定点上先后发生的事件的时间间隔而言，称为“固有时”。如果一个坐标系统内的全部固定点都安上校准好的永恒走着的标准钟，各点就有了同样的固有时，如果作为观测坐标系统，它们也可称为这个观测坐标系统的“坐标时”。客观真实存在的物理学定律是由表现此定律的个体或组合的固有时间和固有空间数量来表达的。但是，定律的被认识和确定难免要凭借观测实验者各自不同观测坐标系统中的时空数量来描述，对表现此定律的个体或组合而言，后者就称为观测坐标时间数量和观测坐标空间数量。由于相互运动，两种坐标时间空间数量在相互认识和被认识之间总难做到完全一致。例如，一个坐标系统内的某一固定点上先后发生的两个事件，在另一个坐标系统看来就先后发生在两个不同的地点上，这时对时间间隔的测量必须借助空间数量来协助，这同样也是经典物理学未深入认识到的问题。经典物理学否认时空与运动有关，它不分固有时空数量和观测时空数量的区别，对两个相互等速运动的标准钟或标准尺始终未深入注意到难以相互准确互校的事实。相对论对此作了重要突破，它指出不存在与运动无关的绝对时间和绝对空间，寻求了两种固有时空坐标数量在相互认识和被认识之间无法一致的关系，称主动去认识的为观测坐标时空数量。
设两惯性系S（x, t）和S’ （x’, t’）沿直线（x轴）相互等速离开。在自认为静止的S系中观测S’ 系的运动速度为v，光速为c 。根据Lorentz 变换公式有：
x’ = (1–v2/c2 ) – ½ (x – v t ) t’ = (1–v2/c2 ) – ½ (t – vx/c2 ) （1）
（1）式中右边的（x, t）是作为观测坐标系统的S系主动去观测认识对方S’ 系时的空时坐标数量。
对称地，在自认为静止的S’ 系中观测得S的运动速度为v’,其Lorentz 变换公式为：
x = (1–v’2/c2 ) – ½ (x’ – v’ t’ ) t = (1–v’ 2/c2 ) – ½ (t’ – v’x’/c2 ) （2）
（2）式中右边的（x’, t’）是作为观测坐标系统的S’系主动去观测认识对方S系时的空时坐标数量。两式完全对称地给出两惯性系中客观存在的固有时间、空间数量（等式左边）和测读对方的观测时间、空间数量（右边）之间在认识上的关系。
如果由（1）式反解出（x, t），则得用S’ 系中的固有空时数量来表示S系中测读的空时坐标数量：
x = (1–v2/c2 ) – ½ (x’ + v t’ ) t = (1–v 2/c2 ) – ½ (t’ + v x’/c2) （3）
现在考虑S’ 系中固定点 x’ = x’p 上的标准钟先后指读的两个时间 t’p1和t’p2，其间隔就是S’ 系中经历的固有时间间隔△τ’ = t’p2 – t’p1 。因为S’ 系在S系看来是以速度v运动着，S’ 系中固定点x’p上先后发生的两个事件，在观测坐标系S看来是先后发生在不同地点上的，因而必须借助于不同地点x1和x2安置好的标准钟来测读，则用观测坐标系S的坐标时测读出的时间间隔为△t = t2 – t1 。根据（3）式有：
△τ’= (1– v2/c2 )½△t （4）
对称地，由（2）式反解出（x’, t’），则得用S系中的固有空时数量来表示S’系中测读的空时坐标数量：
x’ = (1–v’2/c2 ) – ½ (x + v’ t ) t’ = (1–v’2/c2 ) – ½ (t + v’ x /c2) （5）
同样地，S系中固定点x = xp上的标准钟先后指读的两个时间tp1和tp2，其间隔为S 系中经历的固有时间间隔 △τ = tp2 – tp1 。现在用观测坐标系S’中的坐标时来测读，读出为△t’ = t’2 – t’1。根据（5）式有：
△τ = (1– v’ 2/c 2 )½△t’ （6）
（4）式和（6）式完全对称地给出S’系、S系中两个客观经历的固有时间间隔△τ’、△τ和S系、S’系作为观测坐标系时测读出对方的时间间隔 △t、 △t’ 之间的关系。这两个方程式中左右两边的时间，虽然都是各自坐标系中的时间量度，但是因为右边的时间是作为观测坐标系统测读出的，所以也把它称为坐标时。“钟慢效应”或“运动的钟比静止的钟走得慢”，是指方程式右边观测坐标系中测读出的时间间隔 △t、 △t’ 大于左边客观经历的固有时间间隔△τ’、△τ。这当然是对的，但这是一种相当含糊的说法。事物经历的固有时间是不会变快变慢的，它们都是理想均匀地客观上即地即时存在和消逝的。那运动的钟自身有一个坐标系统，在其中钟是固定不动的，自自在在地体验以至表达它的理想均匀的固有时。静止观测坐标系中的坐标时当然也如此。所谓“变慢”的说法，是静的去看动的，看到的是对方客观经历的“往时”，至多是对方的“现时”。也就是说，两个钟旁的观测者相互电告对钟，各人都会发现，例如，我三点钟时正看到你的钟是二点。但是当两个钟停止相互运动，回到同一系统内后，两个钟的时间都应是各自客观经历的固有时△τ’和△τ；而相对运动停止前，双方互被测读出的时间△t和△t’都是“往时”。各自都认为对方钟变慢，对方变年轻，仅仅是相互认识之间的关系，说明人的主观认识在反映客观真实存在时表现出的无可奈何的不足。
谜的根源在于：对上述两个客观经历的固有时间间隔△τ’、△τ和两个作为观测坐标系时测读出对方的时间间隔 △t、 △t’ ，这四个时间数量相对论只给出两个交叉关系，即（4）式的△τ’与△t关系和（6）式的△τ与△t’ 关系，从中无法看清两个固有时间数量△τ’和△τ之间，以及两个测读对方的时间数量△t和△t’之间的关系。不可以简单地认为，同一时刻一个系统自身客观经历的固有时△τ’（或△τ）和其主观去观测对方而测读出的坐标时△t’（或△t）一定相同。因为如果认定，△τ = △t，则从（4）和（6）两式可以推出△τ’ = (1– v2/c2 )½ (1– v’2/c2 )½△t’ ≠△t’ 与 △τ’ = △t’ 相矛盾。同样，如果认定 △τ’ = △t’，则从（6）和（4）两式可以推出△τ = (1– v2/c2 )½ (1– v’2/c2 )½△t ≠△t 与△τ = △t 相矛盾。这就是“谜”之所在。
对空间，S系考虑自身静止，S’系相对它以等速v沿x轴方向运动，则根据（1）式，S’系中沿运动方向任一固有长度（如一根标准尺、一节车厢长度）△l’ = x’2 – x’1，用观测坐标系统S的空间坐标 △x = x2 – x1 拘束着“同时（t2 = t1）”测读出都缩短了，其关系为：
△l’ = x’2 – x’1 = (1– v2/c2 ) –½ (x2 – x1) = (1– v2/c2 ) –½△x （7）
对称地，S’系考虑自身静止，S系相对它以速度v’ 沿x轴方向运动，根据（2）式，S系中沿运动方向任一固有长度△l = x2 – x1 ，用观测坐标系统S’的空间坐标△x’ = x’2 – x’1拘束着“同时（t’2 = t’1）”来测读时有：
△l = x2 – x1 = (1– v’2/c2 ) –½ (x’2 – x’1) = (1– v’2/c2 ) –½△x’ （8）
（7）、（8）二式对称地给出两个客观存在的固有空间长度△l’、△l和两个作为观测坐标系测读出对方的观测长度△x、△x’之间的关系。“尺缩效应”，是指两等式右边的观测长度△x（或△x’）小于左边的△l’（或△l）。同样要注意的是，固有空间数量也是不会伸长缩短的，所谓“缩短”，是用观测坐标系统内的空间数量拘束着“同时”去测读运动着的空间数量，测得的长度就无可奈何地变短了。同样，不可以随便认为，任一时刻一个惯性系中自身一段固有长度△l’（或△l）和主动观测对方测读出的长度△x’（或△x）一定相等。因为如果认定S’ 系中有 △l’ = △x’ 和S系中有△l = △x，那么从（7）、（8）两式可以机械地推出
△l’ = (1– v2/c2 ) – ½ (1– v’2/c2 ) – ½△x’ ≠△x’和△l= (1– v2/c2 ) – ½ (1– v’2/c2 ) – ½△x≠△x与它们矛盾。这也是一个与“两钟之谜”类似的“两尺之谜”。但是为什么从未有人提出过“两尺之谜”呢？显然，人们对空间的认识较对时间更具体现实，尺是实物，相互认识和被认识上的缩短是容易被接受的，当S和S’ 两系统间的相对运动停止，两尺又回到同一个系统中来，无人相信一根客观实体的尺会因有过一段等速运动的历史而真的缩短了。而钟的走出和人渡着的时间却是理想均匀消逝的，过了就算，一去不复返，不像一根尺可以反复查校。所以人们很容易怀疑运动和静止的时钟真有变快变慢之别，两两校核，对不上头。为此，必须进一步证明：随时随处相互等速直线运动的两钟，各自客观经历的两个固有时间数量相等△τ’ = △τ ；相互观测认识对方测读出的两个观测坐标时间数量也相等△t =△t’ 。彻底揭开“两钟之谜”。
相对论教人研究物理学规律必须从认识论观点向前跨进一步，即从认识中掌握物理学定律的客观存在。和时间空间一样，对相互等速运动分开的两个坐标系统S和S’，其速度也应该有客观存在和主观相互被认识的四种数值，v和v’是分别在自认为静止的S和S’系中各自观测对方的运动速度数值。从公理的角度看，这二个彼此被对方认识测读出的速度必须是对称相等的，如果只考虑数值大小，就有：
v = v’ （9）
与观测速度v 对应的S’系的运动速度客观存在的固有数值是用S’系的固有时空数量来表示的：
V’ = △l’ /△τ’ （10）
由（4）、（7）两式，可得它与用观测坐标系S系内空时坐标数量测读出的观测速度 v 的关系为：
V’ = △l’ /△τ’ = (1– v2/c2 ) –½△x /(1– v2/c2 )½△t = v /(1– v2/c2) （11）
对称地，与观测速度v’ 对应的S系的运动速度客观存在的固有数值是用S系的固有时空数量来表示的：
V = △l /△τ （12）
由（6）、（8）两式，可得它与用观测坐标系S’系内空时坐标数量测读出的观测速度v’的关系为：
V = △l /△τ = (1– v’2/c2 ) –½△x’ /(1– v’2/c2 )½△t’ = v’ /(1– v’2/c2) （13）
于是根据公理（9）式，我们证得：
V’ = V （14）
即：相互等速运动分开的两个坐标系统S和S’，彼此客观存在的两个固有速度数值也相等。
对相互等速运动的两个坐标系统S和S’，相互分开的距离也应有四个数值；但是从公理的角度看，彼此之间分开的实际距离毕竟只有一个，所以此距离的两个客观存在的固有数值必定相等，即：
△l = △l’ （15）
而彼此间分开距离的两个相互认识观测数值△x与△x'之间的关系，可以由（15）式结合（7）、（8）两式证得：
△x =△x’ （16）
现在根据（10）、（12）、（14）和（15）各式，容易证得：
△τ’ = △τ （17）
再结合（4）、（6）两式，就得到：
△t =△t’ （18）
（17）和（18）两式就是揭开“两种之谜”的钥匙。从中我们看到：相互等速运动分开的两钟， 随时随处各自客观经历的两个固有时相等，相互观测对方测读出的两个坐标时也相等。何“谜”之有？
根据以上分析，结论十分清楚：一对孪生兄弟，其中一位乘坐接近光速飞行飞船遨游太空后回来，两人重新相遇，各人年龄应是各自客观经历度过的固有时△τ’ = △τ ，谁也不会变得更年青。当两人之间的相对运动未停止前，双方互相被观测认识而测读出相等的坐标时 △t =△t’ 应该都是对方相等的“往时”，所以在相互认识上都觉得对方显得年青些。显然，两人停止相互运动的瞬间会有一个彼此相等而未能被对方测读出的“失踪时段”：（△τ–△t）=（△τ’–△t’）。如果撇开这“谜”应全部相对称的原题本意，在这“失踪时段”上大做文章，不惜引进“加速度”和“动力授受”，必然违背相对论基本原理得到一些形而上学的可笑论断。
另外，值得指出的是：目前相对论中的“钟慢”、“尺缩”公式对相对论因子(1– v2/c2 )½ 中的v 始终未分辨其是v或是v’的意义，这是马虎。当然，这只能引出比（v2/c2）更高次方的微小影响。
在我们“光速可变的狭义相对论”中（见 [8]）, 对于沿直线（x轴）相互等速离开的两惯性系S（x, t）和S’ （x’, t’），S系中观测S’ 系的运动速度为v，光速为c 。S’系中观测S系的运动速度为v’，光速为c’。根据x2 + y2 + z2 – c2 t2 = x’2 + y’2 + z’2 – c’2 t’2（c’ ≠ c）为空时四维空间基本不变量得到的Lorentz 变换公式为 [8] ：
x’ = (1–v2/c2 ) – ½ (x – v t ) t’ = (c/c’) (1–v2/c2 ) – ½ (t – vx/c2)
x = (1–v’2/c’2 ) – ½ (x’ – v’ t’ ) t = (c’/c) (1–v’ 2/c’2 ) – ½ (t’ – v’x’/c’2 )
v’/c’ = – v/c
与传统狭义相对论的洛伦兹变换（1）、（2）两式比较，仅时间t’、t的变换式的右方分别多乘了一个因子(c/c’)、(c’/c)。因而同样的讨论可以得到：
两个相互等速运动惯性系S和S’中，随时随处，各自客观存在的两个固有空间数量相等 △l = △l’ ；主动地去观测认识对方相互测读出的两个观测空间数量也相等 △x =△x’ 。随时随处S和S’中各自均匀消逝的固有时与各自系统内光速的乘积相等c’△τ’ = c△τ；相互观测认识对方固有时的两个坐标时与各自系统内光速的乘积也相等c’△t’ = c△t 。
在揭开“两钟之谜”的同时，我们认识到一个坐标系统客观真实均匀消逝的固有时τ和其观测认识外部事物时测读出的坐标时t之间存在着不确定关系。这个不确定关系必须通过至少两个坐标系之间的相互认识关系来推出。董钟林先生推导得到了这个不确定关系，我们在文献[8]中发表了这个结果。这是传统狭义相对论里没有见到的一个重要公式。它表明：任何一个参考系统客观均匀消逝的固有时间是无法直接与外界相通的；必须有三者之间的相互联系，才能将均匀消逝的固有时间化为可被外界测得而知的坐标时，而且还必然保留一个二次级的不确定关系。更重要的是：涉及任何个体的物理学定律又必须依赖这个体客观静止均匀消逝的固有时来表达其不变形式。这是不依赖于观测坐标系统的客观存在。如何发现和表达这存在，是认识论上的努力，而且必须从最基础的认识固有时和坐标时的区别入手。这是相对论的不可没世之功！传统的“光速不变”的狭义相对论总还嫌火候未能纯青和恰到好处。
国家天文台的测时授时工作就是要定出地球坐标系统的坐标时，努力的目标就是希望它越能接近理想均匀消逝的境界越好。天文学家未能普遍具备相对论的观点来认识固有时，也没有固有时这名称；“历书时”曾被认为是理想均匀消逝的时间而被用来作为地球系统的时间定义。原则上﹐对于太阳系中任何一个天体﹐只要精确地掌握了它的运动规律﹐都可以用来规定历书时，一般不认为依此目标测定的时间作为地球的坐标时存在有基本的问题。但是，如果能够认识和注意我们提出的固有时和坐标时之间的不确定关系，那么应该可以发现这个不确定关系式的影响作用在这类测时授时工作中的确是存在。限于篇幅不再申论，感兴趣的读者，特别是做测时授时工作的实用天文工作者，看完本文后可以细阅文献[8]，彻底明白无法将实用的科学坐标时和理想均匀消逝的固有时（即所谓“历书时”）完全等同统一起来，从而注意这个不确定关系对测时授时工作的影响，并注意该文中提出的验证途径。
参考文献
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[3] H. Lass, [j].Am. J. Phys. ,1963, 31: 274
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[5] R. A. Muller, [J]. Am. J. Phys. 1972,40: 966
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[7]吴大猷，相对论 理论物理第四册,[M]. 北京：科学出版社，1983，183
[8] Dong Jun, Na Dong, The Special Theory of Relativity in Different Media (Ⅰ), [OL], [2021-4-9] ,
DOI: 10.21203/rs.3.rs-403193/v1
https//www.researchsquare.com/article/rs-403193/v1
https://blog.sciencenet.cn/blog-3349446-1304759.html
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