实重根的能达丰富性计算中的有向体积的同号性

     对于传统控制理论中当系统存在实重根时，习惯用下约旦阵表示规范型的系统矩阵。这会使得博文“有实重根的线性系统的能达丰富性(2)”（http://blog.sciencenet.cn/blog-3343777-1080144.html）中能达丰富性计算中的有向体积存在一个符号与约旦阵的阶次有关变号问题。因此为了与实单根时的线性系统的能达丰富性计算中的有向体积的符号相一致，需重排约旦阵为上约旦阵。

     首先定义重根时的约旦阵为如下上约旦阵

$A=\left[\begin{array}{ccccc} \lambda & 0 & 0 & \cdots & 0\\ 1 & \lambda & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \lambda & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{array}\right]$

由博文“有实重根的线性系统的能达丰富性(1)”(http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3343777)给出的性质：

“当系统矩阵 $A$ 为约旦阵时，能达丰富性与每个约旦块对应的输入矩阵 $B$ 的分块的最后一行相关，与该分块的其它行无关”。

对于上述的上约旦阵，则对应的结论为：能达丰富性与每个约旦块对应的输入矩阵 $B" style="text-align:center;$ 的分块的第一行相关，与该分块的其它行无关。因此

     对上约旦阵 $A" style="text-align:center;$ ，其相应的能达丰富性的有如下等价计算

$\textrm{Vol}(R_{r,N})=\sum_{(k_{1},k_{2},\cdots,k_{n})\in\Omega_{0,N-1}^{n}}\left|\mathrm{det}\left(\left[A^{k_{1}}B,A^{k_{2}}B,\cdots,A^{k_{n}}B\right]\right)\right|$

          $=\sum_{(k_{1},k_{2},\cdots,k_{n})\in\Omega_{0,N-1}^{n}}\left|\mathrm{det}\left(\left[A^{k_{1}}\Gamma,A^{k_{2}}\Gamma,\cdots,A^{k_{n}}\Gamma\right]\right)\right|$

          $=\sum_{(k_{1},k_{2},\cdots,k_{n})\in\Omega_{0,N-1}^{n}}\left|\lambda^{n\times k_{1}}\right|\left|F_{\lambda}^{0,k_{2}-k_{1},\cdots,k_{n}-k_{1}}\right|$

其中 $B=\left[b_{1},\cdots b_{n-1},b_{n}\right]^{T},$

    $\Gamma=\left[b_{1},0,\cdots,0\right]^{T},$

    $F_{\lambda}^{k_{1},k_{2},\cdots,k_{n}}=\mathrm{det}\left(\left[A^{k_{1}}\Gamma,A^{k_{2}}\Gamma,\cdots,A^{k_{n}}\Gamma\right]\right)=\mathrm{det}\left(\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\right]\right).$

      实际上上述定义的 $F_{\lambda}^{k_{1},k_{2},\cdots,k_{n}}$ 为向量组 $\left\{ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\right\}$ 张成的 $n$ 维空间的平行多面体的有向体积。而向量 $\alpha_{2}$ 可视为向量 $\alpha_{1}$ 经过变换矩阵为如下矩阵的拉伸变换。

$G_{\lambda}^{k_{2},n}=\left[\begin{array}{cccc} \lambda^{k_{2}} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & g_{k_{2},1}\lambda^{h_{k_{2},1}} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & g_{k_{2},n-1}\lambda^{h_{k_{2},n-1}} \end{array}\right]$

其中

$\left(g_{k,i},h_{k,i}\right)=\left\{ \begin{array}{cc} \left(\frac{k}{k-i},k-i\right) & k-i\geq0\\ \left(1,0\right) & k-i<0 \end{array}\right.$

     类似地，向量 $\alpha_{i}$ 可视为向量 $\alpha_{i-1}$ 经过变换矩阵为 $G_{\lambda}^{k_{i}-k_{i-1},n}$ 的拉伸变换。当 $\lambda\in(0,1)$ 时，上述拉伸变换矩阵的对角元素值递增。可以证明每次做的拉伸变换，向量 $\alpha_{i}$ 与向量 $\alpha_{i-1}$ 组成右手系（满足右手法则）。依次类推，可以知道向量 $\alpha_{n}$ 位于向量组 $\left\{ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n-1}\right\}$ 张成的 $n-1$ 维空间的右手系。因此，根据行列式性质，有

$F_{\lambda}^{k_{1},k_{2},\cdots,k_{n}}=\det\left(\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\right]\right)>0$

即相应能达丰富性计算式为

$\textrm{Vol}(R_{r,N})=\sum_{(k_{1},k_{2},\cdots,k_{n})\in\Omega_{0,N-1}^{n}}\lambda^{n\times k_{1}}F_{\lambda}^{0,k_{2}-k_{1},\cdots,k_{n}-k_{1}}$