第4章：欧几里得和阿波罗尼斯。本篇记录此章的第12节。

12、阿波罗尼斯的数学著作

古典时期的另一伟大希腊数学家（就其总结和创造古典时代数学研究的门类这两重意义而论）是阿波罗尼斯（约公元前262—前190）。他在当代及后世以大几何学家闻名，他作为天文学家的声誉也一样大。

阿波罗尼斯的《圆锥曲线》（Conic Sections）除了综合前人的成就之外，还含有非常独到的创见材料，而且写得巧妙、灵活，组织得很出色。它是这样一个巍然屹立的丰碑，以至后代学者至少从几何上几乎不能再对这个问题有新的发言权。这确实可以看成是古典希腊几何的登峰造极之作。按：观止矣！

《圆锥曲线》一书分八篇，共含487个命题。前四篇是从12-13世纪的希腊手稿复制出来的，其后三篇是从1290年的阿拉伯译本转译的。第八篇已失传，但17世纪哈雷（Edmond Halley）根据帕普斯书中的启示搞出一个整理本。按：不错，就是哈雷彗星的哈雷！人分为两种：牛人，和其他人……

阿波罗尼斯是第一个依据同一个（正的或斜的）圆锥的截面来研究圆锥曲线理论的人。他也是第一个发现双曲线有两支的人。

给定一圆及圆所在平面（底面）外一点A，过A沿圆周移动的一根直线便生成一双锥面。锥的一个截面PDE与底面交于直线DE，跟圆锥截出一条圆锥曲线（在这里是一个椭圆）。取底圆的一条直径BC垂直于DE。三角形ABC与圆锥曲线交于P和P'。PP'的延长线与DE相交于M。QQ'是圆锥曲线平行于DE的一弦，未必垂直于PP'，与PP'相交于V。阿波罗尼斯随即证明QQ'为PP'所平分，即VQ = QQ'/2。

现作AF平行于PM，交BM于F。再在截面上作PL垂直于PM。决定L位置的条件，对椭圆和双曲线是PL /PP' = (BF * FC) /AF^2，对抛物线是PL /PA = BC^2 / (BA * AC)。从V作VR平行于PL，交P'L于R。（在双曲线的情形下，P'在双曲线的另一支上，须延长P'L才能定出R。）按：是不是已经晕了？不需要记清细节，只要理解阿波罗尼斯的思维复杂度就好。考虑到那时没有解析几何，全都靠辅助线等技巧来作证明，这就更惊人了！

阿波罗尼斯证明对于椭圆和双曲线有：

QV^2 = PV * VR。

他把QV称作圆锥曲线的一个纵坐标线，上述结果说明纵坐标线的平方等于矩形PV * VR的面积。

在椭圆的情形下，这矩形未填满整个矩形PV * PL，而亏缺一个相似于矩形PL * PP'的矩形LR。因此椭圆的原名就叫“亏曲线”（ellipse）。

在双曲线的情形下，VR大于PL，所以矩形PV * VR超出矩形PL * PV，超出的那个矩形LR相似于PL * PV。因此双曲线的原名就叫“超曲线”（hyperbola）。

在抛物线的情形下，上式不成立，而有：

QV^2 = PV * PL。

所以等于QV^2的那个矩形恰好是与PL相齐的矩形PV * PL。因此抛物线的原名就叫“齐曲线”（parabola）。

抛物线（齐曲线）、椭圆（亏曲线）和双曲线（超曲线）之称是阿波罗尼斯引入的，它们取代了以前梅内克缪斯所用的直角圆锥曲线、锐角圆锥曲线和钝角圆锥曲线之称。

上面两个方程是圆锥曲线的基本平面性质。阿波罗尼斯推出这两个性质之后，就不再利用圆锥而直接从这两个方程推出曲线的其他性质，实际上相当于用横坐标、纵坐标和圆锥曲线方程推出曲线性质的做法。按：阿波罗尼斯离解析几何只差一步之遥！笛卡尔等人创建解析几何时，有没有受到他的启发？

我们很容易把阿波罗尼斯得出的基本性质翻译成近世坐标几何中的语言。记PL（阿波罗尼斯称它为正焦弦或纵线参量）之长为2p，记直径PP'之长为d，若x是距离PV，y是距离QV（这相当于应用斜坐标），则立即可以看出抛物线的方程是：

y^2 = 2px。

对于椭圆，得出y^2 = PV·VR = x (2p - LS)。又因矩形LR相似于矩形PL * PP'，所以LS /PL = x /d，故LS = 2px /d。于是：

y^2 = x (2p - 2px /d) = 2px - 2px^2 /d。

对于双曲线，我们有：

y^2 = 2px + 2px^2 /d。

在阿波罗尼斯的做法里，抛物线的d是无穷大，抛物线可以作为椭圆或双曲线的一种极限情形。

考察椭圆的一组平行的弦，阿波罗尼斯证明这批弦的中点都在一直线AB上，称AB为椭圆的直径。过AB的中点C作直线DE平行于原来的那组弦，DE将平分所有平行于AB的弦。DE叫做AB的共轭直径。椭圆或双曲线的轴是互相垂直的两直径。阿波罗尼斯定义了三种圆锥曲线的共轭直径和轴。

第一篇中也论述圆锥曲线的切线。阿波罗尼斯证明过直径一端点平行于其相应弦的直线是圆锥曲线在该点的切线。另一个关于切线的定理是：设PP'是抛物线的一直径，QQ'是它的一根相应弦，与它交于V。在直径延长到曲线外的部分取一点T，使TP = PV，则直线TQ与抛物线相切。对椭圆和双曲线也有类似的定理。

阿波罗尼斯证明，若在基本图4.20中取圆锥曲线的其他直径，定义圆锥曲线性质的方程仍照旧。相当于从一种斜坐标系变换到另一种斜坐标系。他还证明，从所取的任一直径和纵坐标线，可以变换到直径（轴）和纵坐标线相垂直的情形，即变到直角坐标系。按：离坐标变换也只有一步之遥！！

阿波罗尼斯还指出怎样从给定的某些数据（例如给定一直径、正焦弦、纵坐标线与直径的夹角）来作出圆锥曲线。

第二篇一开头讲双曲线渐近线的作法和性质。他不仅指出双曲线的渐近线存在，而且指出在曲线的足够远处，曲线上一点与渐近线的距离小于任意给定的长度。然后他引入所给双曲线的共轭双曲线，并证明它同所给双曲线具有相同的渐近线。

第二篇的其余定理说明如何求一圆锥曲线的直径，求有心圆锥曲线的中心，求抛物线和有心圆锥曲线的轴。这一篇最后讲怎样作圆锥曲线的切线，使其满足给定条件，例如过给定的一点。

第三篇开头论述关于切线与直径所成图形的面积的定理。一个主要结果是：若OP与OQ是圆锥曲线的切线，RS和R'S'是平行于OP和OQ的任二弦，交于J点（在圆锥曲线内部或外部），则有：

(RJ * JS) / (R'J * JS') = OP^2 /OQ^2。

这是初等几何里一个熟知定理的推广：圆内两弦相交，每根弦被交点所分两段的乘积相等。在圆的情形下，OP = OQ，右边等于1。

第三篇后一部分论述极点和极线的所谓调和性质。若TP与TQ是圆锥曲线的切线，任一直线TRS交圆锥曲线于R及S，交PQ于I，则：

TR /TS = IR /IS。

就是说，T外分RS的比等于I内分RS的比。PQ线叫点P处的极线，T，R，I，S形成一组调和点。又若通过PQ中点V的任一直线交圆锥曲线与R及S，交过T且平行于PQ的直线于O，则有：

OR /OS = VR /VS。

过T的那根直线是V的极线，O，R，V及S又是一组调和点。

接着讲有心圆锥曲线的焦点的性质（阿波罗尼斯没有焦点这个词）。椭圆或双曲线上一点P与焦点相连的两线PF及PF'与P处的切线交于等角，且焦距PF与PF'之和（对椭圆）或之差（对双曲线）等于AA'。

欧几里得曾部分地解决了一个著名的问题：设动点与四根固定直线的距离p、q、r、s满足条件pq = αrs，其中α为已知，求该动点的轨迹。阿波罗尼斯在《圆锥曲线》的序言中说这问题可用第三篇中的命题解决。这确实是能做到的；帕普斯也早知道这轨迹是一圆锥曲线。

第四篇讲极和极线的其他性质。证明两圆锥曲线至多相交于四点。

第五篇在其新颖和独到之处最为出色。它论述从一特定点到圆锥曲线所能作的最长和最短的线。切线在极点处的垂线如今叫法线，极大和极小线都是法线。阿波罗尼斯对每种圆锥曲线定出了那样一些点的轨迹：从轨迹这一边的点能作一定数目的法线，而从轨迹另一边的点能作另一数目的法线。这轨迹如今叫圆锥曲线的渐屈线。

第六篇讲述全等圆锥曲线、相似圆锥曲线及圆锥曲线弓形。阿波罗尼斯又指出怎样在一给定的直角圆锥上作出与一已给圆锥曲线相等的圆锥曲线。

第七篇讲述有心圆锥曲线两共轭直径的性质。阿波罗尼斯把这些性质和轴的相应性质加以比较。

第八篇已失传。它所含命题，也许是关于怎样定出（有心）圆锥曲线的共轭直径，使其长度的某些函数具有给定的值。

帕普斯提到了阿波罗尼斯的其他六部数学著作。其中一部叫《论接触》（On Contacts），它的内容由韦达整理出来。该书中含有著名的阿波罗尼斯问题：任给三点、三线或三圆，或三者的任意组合，求作一圆过给定的点并切于所给直线或圆。许多数学家，包括韦达和牛顿都给出了这问题的解。

欧几里得和阿波罗尼斯的严格演绎式的数学论著，使人感到似乎数学家是用演绎推理搞出发明创造来的。但我们回顾欧几里得之前300年间的数学活动，就应该看到证明之前必先有猜想，综合之前必有分析。事实上，希腊人对于从简单演绎法得出的命题是不很看得起的。希腊人把那些能从定理直接推出的结果称作系或衍论。普罗克洛斯把这种无需费多大力气得出的结果称作横财或红利。按：公理体系是整理结果的方式，却不是发现新结果的方式。如果能总结出大科学家们发明创造的方法，那将带来惊人的好处。但这很可能是一种因人而异的艺术，不能普遍掌握。

古典时期的贡献有比数学内容更重要之处：它创造了我们今日所理解的那种数学。它坚持用演绎法来作证明，重视抽象而不重视具体，这些都决定了数学的性质。