第四章：数学思想的理论奠基——刘徽的数学思想。本篇记录此章第3节的第1、2部分。

4.3 极限（无限）思想——前无古人的算法

刘徽是把极限思想具体化为数学方法并在数学中加以运用的第一人，这一点是具有世界历史意义的。按：如前所述，这种说法是不对的。欧多克索斯和欧几里得的穷竭法是对极限思想更严密的运用，他们和阿基米德都在刘徽之前。

在《九章算术》注中，可以说在所有需要以极限思想来解决的问题他都使用了明确的极限方法。我们以圆田术注（即著名的割圆术）、刘徽原理证明和开方不尽数的处理为例探讨刘徽的极限思想。

1、割圆术

方田章圆田术曰：“半周半径相乘得积步。”刘徽在后面写下注文：

“又按：为图，以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。觚面之外，又有余径。以面乘余径，则幂出觚表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。”

从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，用勾股定理，求出正12边形、24边形……每边的长，这种边数加倍的作法叫做“割”。边数越多，正多边形与圆的差就越少，最后分到不可再分，多边形就与圆重合，没有误差了。按：这是个好思想，但绝不是独一无二的思想。作者以为别人没想到？《几何原本》第12篇的命题2是：圆与圆的面积之比等于其直径平方之比。证明用的是穷竭法，就是把圆内接多边形的边数不断加倍，证明圆和某一边数足够多的正多边形面积之差可以比任何给定的量还要小。见我的《古今数学思想》读书笔记的第11篇。欧几里得不但想到了割圆术，而且对此给出了精确的数学描述，比刘徽高明很多！

“割之又割，以至于不可割”非常形象地表现出庄子所说“日取其半，万世不竭”的极限思想。按：这不是自打耳光？不可割到底是可以达到，还是永远达不到？作者没发现这两种说法是正相矛盾的吗？

还隐含了“无论怎样割——无论多边形的边取得多么多，实际上都不能与圆重合；只是到了‘不可割’的情况即边数无限增多时，多边形以圆为极限”。这里真正运用了极限思想，并把圆作为多边形的极限。按：不客气地说，作者认为的这段隐含的话只能在直观上理解，如果要认真分析，就会发现它含糊不清。如果不是这样，牛顿、莱布尼茨的微积分也不会被攻击那么久了。在柯西、维尔斯特拉斯给出极限的严密定义之前，所有关于极限的直观陈述都是像这样似乎有理，又含糊不清的。唯一精确的是古希腊的穷竭法，而它之所以精确，正是因为它跟现代的极限定义一样，使用了ε-δ语言！比刘徽不知高到哪里去了！

刘徽在求圆面积的过程中又同时解决了圆周率的计算问题，并且得出了古代世界一个非常好的圆周率成果：π = 3.14。按：这个结果确实很了不起，不过也不是独一无二的。阿基米德用类似的割圆方法得出圆周率大于3又10/71（3.1408450704225352112676056338028），小于3又1 /7（3.1428571428571428571428571428571）。

2、刘徽原理证明

这是刘徽在商功章阳马术的注文中提出并证明的关于体积公式的最基本的原理。

“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。问积几何？

答曰：九十三尺少半尺。

术曰：广袤相乘，以高乘之，三而一。

按：此术阳马之形，方锥一隅也。今谓四柱屋隅为阳马。假令广袤各一尺，高一尺，相乘，得立方积一尺。邪解立方，得两堑堵；邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑成一阳马，合三阳马而成一立方，故三而一。验之以棋，其形露矣。悉割阳马，凡为六鳖臑。观其割分，则体势互通，盖易了也。”

这个算法可以表示为

Vy = abh/3

（a、b分别为阳马底面的长和宽，h为阳马的高）

阳马是底面为长方形的直角四棱锥。所谓“方锥一隅”指的是用两个互相垂直的平面，交线过一个方锥（正四棱锥）的顶点和底面中心分解方锥，就得到四个阳马。“四柱屋隅为阳马”，四面墙的屋子的一个墙角就是一个阳马。

如果用一个棱长1尺的正方体来检验，斜着把正方体剖成两个堑堵，再斜着把堑堵剖开就成为一个阳马和一个鳖臑（nao4，前臂骨，比喻这一立体的形状），此时显然有

Vy : Vb= 2 : 1（Vb为鳖臑体积）

如图（5）所示，2个鳖臑合成1个阳马。按（4）和（3），1个鳖臑和1个阳马合成1个堑堵。按（2），2个堑堵合成1个正方体。按：由此推出，堑堵、阳马、鳖臑的体积分别是正方体的1 /2、1 /3和1 /6。

用模型（棋）立即可以检验出来。这种理想模型有三种（三品棋）——长宽高都是1尺的正方体、阳马和堑堵。用它们的拼合或分解，推导、验证多面体的体积公式，使用这种理想模型的方法叫做棋验法。

对于正方体，以上分割是容易检验的。如果不是正方体，即a、b、h不相等呢？

“其棋或修短、或广狭、立方不等者，亦割分以为六鳖臑。其形不悉相似。然见数同，积实均也。”

堑堵、阳马、鳖臑的体积与长方体体积的比例不变，仍然是1 /2、1 /3和1 /6。为什么呢？

“鳖臑殊形，阳马异体。然阳马异体，则不纯合。不纯合，则难为之矣。”在长方体的情况下，无法应用棋验法。但阳马和鳖臑的体积比却非常重要。刘徽采用他在割圆术中用过的极限方法来证明阳马和鳖臑的体积比仍然是2 : 1，这就是刘徽原理。按：本书对证明过程的描述不够清晰，主要是立体分割的描述过于简略，因此不再摘录。基本思想是可以明白的。刘徽在一个堑堵中取出3 /4的体积，证明在这部分中阳马和鳖臑的体积比是2 : 1，而在剩下的1 /4体积中阳马和鳖臑的体积比未知。但是这个过程可以无限重复下去，于是体积比未知的部分构成一个1 /4，1/16，1/64，…的等比数列，极限为0。因此最终全部体积都具有已知的体积比2 : 1，刘徽原理得证。