设 $0<b<a$. 令

\[ a_0=a,b_0=b, a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}, b_n=\sqrt{a_{n-1}b_{n-1}},\ (n\in\mathbb{N}_+).\]

则 $\{a_n\},\{b_n\}$ 都收敛, 且极限相同. 该极限我们就称为 $a,b$ 的算术几何平均值, 记为 $AG(a,b)$, 其有解析表达式

[AG(a,b)=frac{pi}{2G}, G=int_0^{pi/2}frac{mathrm{d}x}{sqrt{a^2cos^2x+b^2sin^2x}}.]

这是伟大的数学家 C.F. Gauss 在其 14 岁 (1791年) 时发现的, 并在他的早起研究工作中起了重要的作用.