自然的先驱---音乐深处的灵魂(III)

鲍海飞 2020-12-23

 音乐打开了人们认识自然的一扇大门。音乐能够感染人，让人怦然心动，让人回味无穷，故有‘绕梁三日不绝’。

 声声慢，时光穿梭，江山代有才人出。历史记录着音乐，音乐承载着科学。

1. 为我一挥手，如听万壑松

       在科学道路的探索上，中国人自古就从未缺席，在从音乐到科学的道路上，中国人也作出了他独一无二的贡献。

       2017年的《数学爱好者（The mathematics enthusiast）》(2017,V14N1)刊文指出，中国早在明代(1368-1644)的时候，就成功地用数学解决了音乐的平均律难题，而早在公元前的2700年，中国人就一直醉心于一种乐器‘锣的音高(gong pitch)’。中国人关注于此，并不只是为了娱乐，而是关系到宫廷中祭祀的重要活动部分，音乐似乎涉及到了一个朝代的兴衰。明朝的朱载堉(Zhu Zaiyu,1516-1611，堉发音为‘玉’)，出生于明代的帝王之家，他在遭受家庭变故之后，便投身于学术研究，试图通过音乐来复兴家园。他是世界上第一个解决平均律的人，1584年，他给出了如何解决音乐平均律的问题。即在一组谐合的音程体系中(tuning system)，比如8度音程内，每一对相邻音符之间有着相同的频率比。

       “据史载，朱载堉用横跨81档的双排特大算盘，进行开方计算，求出了十二平均律的参数，数值精确到小数点后25位，使得每两个相邻的音之音振动频率的增幅或减幅相等，并据此制作出了弦准和律管。之后十二平均律被传教士随丝绸之路传到了西方，对世界音乐的发展产生了重要影响。”

        在毕达哥拉斯音程体系中由7个频率的音构成，加上最后一个高音就是一个八度音。还有一种是纯律（Just intonation）是一种以自然五度和三度生成其它所有音程的音准体系和调音纯律体系。常规的8个音阶中，比如从中音的C到高音的C，B与C是半音，E与F是半音，而其它的音之间是全音。全音之间构成的音符，其间的频率间隔较大，在曲谱中会带来音的不连贯，这就是毕达哥拉斯音程体系中在谱曲中存在的问题。这就需要在频率间隔大的两个音之间再增加‘弦长’即‘半音’来构成，这样就在一个八度内，分成了12个等频率间隔的音，这就构成了12平均律，音符之间的变化就连贯了，再依次类推到不同的八度之间。频率相差2/1、3/2、4/3是纯八度、纯五度和纯四度，5/4和6/5是大三度和小三度，5/3和8/5是大六度和小六度。乐器吉他是用‘品’来间隔不同的音。简而言之，12平均律中在原来7个音的基础上，又增加了5个音（E与F，B与C之间没有增加）。12个音的频率不是等分的，但相邻音之间的频率比是常数，其间的频率比为2^1/12,=1.05946而这是由中国明朝的朱载堉首先得到的(实际上来自于：r¹²=2)。据此有些人认为，其思想后来传到了欧洲。平均律成功解决了音之间的连贯问题。因为这样一组音的频率比是相同的，即无论从哪个位置开始演奏起旋律都是一样的。按照12平均律来计算，在从C1到C2一个八度之间，G音与基音的频率比为2^7/12=1.498,这非常接近毕达哥拉斯C大调音程体系中的G音频率比3/2。人耳难以分别如此小的频率差。钢琴、小提琴、小号都是据十二平均律来定音的。

       一个简单的例子，在一个八度内包含12个半音，如从A₄(440Hz)(而C₄是262Hz)大调开始，那么，音调频率依次为：440X2⁰,440X2^1/12,......440X2^12/12，对应于：A、A#、B、C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A2。一个A-C#-E和弦便是：sin(440X2πt)+sin(440X2^4/12Xπt)+sin(440X2^7/12X2πt)。如图4分别是其时域和频域谱图。三和弦的时域图中有明显的幅度起伏，表明声音在婉转变化，听起来悦耳。

       什么是和谐？和谐就是不同的而能够同处，所谓求同存异，同是共性，异是个性。孤木不成林，滴水不成海。你有你的低吟，我有我的鸣唱，此起彼伏、相映成趣。钢筋与水泥之相容，红砖与青瓦之上下，大厦乃成，亦即和谐。进一步，从数学上说，和谐涉及到了互相关函数，在时间或空间序列上，两个函数之间的相关性是多少。

    

    

   图4，纯音与其和弦的时域和频域谱图。

   （http://www-math.bgsu.edu/~zirbel/sound/Trigonometric%20functions%20and%20sound.pdf）

    

       18世纪，微积分学用于弦的振动分析。布鲁克泰勒研究了弦的振动方程，并得到了一个正弦解。达朗贝尔则得到了弦振动的时空微分方程。尔后，傅立叶研究固体中热的传导过程中，发现可以用三角函数级数展开描写热的波方程解，而这又可以运用到一个弦的振动中。比如：一个方波的傅立叶级数展开为： ，

   
   

       其中分母L可假定是弦长，也表示了一个八度音程的基频（1/L），而分子中的n代表了基频的倍数。进一步，角频率ω以基频ν的展开表述为：ω=2πkν(k是某个常系数)。从这里可以看到一组 ‘和谐’的频率。简而言之，在音乐体系中，傅立叶级数展开表达式表明了有多少个频率的‘波音’，它是一个谱系，而非几个三角函数。由此可见其频率的丰富。在数学上求傅立叶级数系数的时候，是用一个三角函数去与这个函数相互乘积作用，这相当于‘试音’，其积分结果恰好反映存在什么样的‘和谐’频率之间的关系程度，其系数的大小相当于该‘波音’的权重，也反映了不同频率之间和谐的相关性程度。

       计算机时代的到来，极大丰富了音乐的广度和深度。利用傅立叶频谱分析方式使音乐的‘频率’越来越细致和丰富。最神奇的是，早在1970年代的巴黎，一些学者根据付立叶变换，利用计算机构造出了许多神奇的音符，它包含了远远多于12平均律所表示的音符，让人感受到从未有过的音乐感觉。五线谱本身就构成了一个完美的时频谱图。

      《数学爱好者》一文中还介绍了加拿大达尔豪斯大学的一位数学家，利用计算机演奏了一段1964年英国披头士摇滚电影的经典的同名电影歌曲《一夜狂欢》(A Hard Day’s Night)，开篇的和弦之音充满了神秘的色彩，许多人试图模仿，但都没有成功。原来他另觅它途，采用了现代的数学分析技术，利用计算机和傅立叶变换，供他选择的频率竟然多达29000个，这远远超出了人们的想象。魔幻音乐的背后是神秘的数学。这真是：‘为我一挥手，如听万壑松。’

       音乐，体现了精彩的艺与玄妙的数之关联；科学，演绎了神奇的术与博大的道之内涵。以小见大，大道至简。爱因斯坦说，令人难以理解的是世界是可以理解的（What is incomprehensible is that the world is understandable.）。

    

2. 余音绕梁

       18世纪是音乐的时代，但更是数学的时代。这一时期，欧洲出现了许多著名的音乐家，巴赫、贝多芬，音乐神童莫扎特等。莫扎特的音乐精细与灵动，贝多芬的音乐大气与豪放。或许，这是那个时代下最时尚的东西，那些音乐的回响，与哲人的灵魂共鸣，造就了哲人们探索世界的开端。

       我们也看到，环境影响着人。家庭中文化或艺术氛围的潜移默化，以及耳濡目染的言传身教，对人的成长有巨大的影响。世界最著名的理论物理学家，狭义和广义相对论的创始人---爱因斯坦，他的母亲是家中的音乐家---一位有造诣的钢琴家。据说他6岁的时候，就开始学习小提琴，13岁的时候对音乐产生了兴趣，尤其喜欢莫扎特的音乐，非常钦佩巴赫和贝多芬的音乐。据记载，当他成年时，几乎每次外出旅游，小提琴都是他必带之物，甚至在普林斯顿的时候，每周三的晚上都要在家里举办音乐聚会。“对我来说，生活中没有音乐是不可想象的，在音乐中我经常做着白日梦，我按照音乐的方式看待我的生活，我从音乐中获得了快乐。”在柏林多年，他流连那里的科学与文化，他和伟大的奥地利小提琴家弗里茨·克莱斯勒以及哲学艺术钢琴大师家阿图尔·施纳贝尔共饮，他还经常和量子之父马克思-普朗克一同演奏小提琴奏鸣曲。

       音乐伴随着人的成长。笔者曾经在大学时，班级里只有一位会弹吉他的同学，大学毕业后，我和班级的同学们大部分都受到其熏陶而能弹一两下。环境何其重要。但对于我们来说，吉他只是一件美妙的乐器，我们在努力的掌握它和演奏它，却很少想到它背后的物理和数理方程。

       感谢那些先人哲人，让我们懂得了自然，引领我们透过现象而抓住本质，使我们富于观察和深层思考的能力。透过现象看本质，就是从形式、本体、内在，以至于形而上，这就是科学的追寻和探索。科学研究就是耳濡目染和承前启后，科学指引我们的是探索自然的方法和方向，科学的魅力是它求真求实。

       闪电后的雷声，溪水的奔流，是自然的音响。听取蛙声一片，虎啸猿啼，那是动物的音响。虽然这些都有优美之处，但都没有人类鸣奏出的那样精妙与和谐。擂鼓助威，鸣金收兵，前进的脚步，整齐的节奏，心的激荡，那是一种力量。从音乐到物理，从琴弦振动到波动方程，从倾听到冥想，这是智慧的人生。专注与热爱，只待有心人！听！宇宙深处传来的声音，那是弦在动，经久不息的脉动，余音绕梁。（完）