略谈网络科学与统计物理之间的联系与挑战

  前  言              

世纪之交国际上诞生了一门广泛交叉的新兴学科——网络科学，犹如千树万树梨花开，在国内外遍地开花，迅猛发展，十多年来，课题层出不穷，方兴未艾。网络科学的两大主要理论基石——图论数学与统计物理发挥了极其重要的作用。我们一直面对一个值得思考的问题：究竟网络科学和统计物理（平衡和非平衡态）内在联系及主要的前沿课题是什么？无尺度网络理论的创立者艾伯特·拉斯洛·巴拉巴西(Barabasi)在其科普名著《链接》一书里的回答是：“寻找或发现网络的动力学普适规律及其网络拓扑结构、功能的关系就是前沿课题之一。”“我们需要攻克下一个前沿问题，就是理解在网络中发生的动力学过程。而问题在于我们已经有了几乎和复杂系统一样多的动力学现象。…… 尽管是多种多样的，但是否有这样的可能：这些动力学过程有着一些共同的特征？” 大家确信或预言：动力学共性是存在的，只是迄今暂时尚未完全揭开它们普遍性的理论框架。这里必然存在丰富多彩的平衡态和非平衡态统计物理过程，寻找复杂系统的理论基础离不开统计物理方法，也就是说，与网络拓扑结构的普遍性相比，发展网络动力学共性的基础不可能离开统计物理方法的创新和发展，特别是非平衡统计物理是大有作为的。进而，理论上自然提出的问题是，网络科学是否存在或需要建立一套包括动力学方程在内的网络科学的统一的基本理论体系？本文将分三部分来讨论上述问题。首先，让我们从网络科学与统计物理的一种生动的内在联系的实例说起。

1. 生动的实例：玻色-爱因斯坦凝聚在复杂网络中的表现

究竟网络科学的理论基石是什么？几十年来，人们一直把数学领域的图论作为网络科学的主要理论基石。巴拉巴西在《链接》一书里，首先揭开了这个基本问题。巴拉巴西课题组除了发现无尺度网络外，还揭开了一大类真实网络动态演变特性，发现复杂网络中也出现了玻色-爱因斯坦凝聚（BEC)现象。BEC是科学巨匠爱因斯坦1924年首先从理论上预言的一种新物态，一种非常普遍存在的物理现象。发现理想玻色气体在一定临界温度T_C下会发生凝聚，即宏观数量的原子将占据动量为零的基态，即，在一定临界温度下，无相互作用的玻色子会在最低能量量子态上突然凝聚，达到可观的数量．其他原子组成饱和理想气体。玻色－爱因斯坦凝聚的体系可以是气体，液体，固体，也可以是原子核和基本粒子，甚至还可以是中子星或超新星中的物质．BEC现象要在实验上观察到需要选择一种合适的特定体系．其温度要足够低，以至于粒子的德布罗意波长()大于粒子间的平均距离。但是，很长时间由于找不到合适的实验体系以及实验技术的限制，BEC的早期实验研究进展极为缓慢。80年代末以来，BEC之所以成为物理研究中的热门，是因为实验进展取得了突破性进展。1989年，Wieman和Chu等人提出采用碱金属原子气体进行BEC实验．对于碱金属原子而言，如果要使其原子间的相互作用很弱，则原子的密度必须很小，温度必须足够低，这就需要寻求一种新的冷却方法——激光冷却与囚禁，正是由于激光冷却与囚禁中性原子的技术迅速发展为BEC的研究提供了实验条件。终于在1995年实验观察实现了气相原子的BEC。美国科罗拉多大学实验天体物理联合研究所(JILA)和国家标准技术研究所(NIST)的Wieman小组于1995年7月首先报道了在实验上观察到的原子的BEC现象；同年８月，美国Rice大学的Bradley 小组报道了原子的BEC的观察结果；11月，美国麻省理工学院（MIT） 的Davis 等人又报道了原子的BEC的实验结果．这三个实验宣告了实验实现了BEC，这在物理界引起了强烈反响，成为BEC研究史上的一个重要里程碑．那么玻色－爱因斯坦凝聚与复杂网络究竟有什么关系呢？与宏观网络不同，量子网络系统的基本特征是其节点可以是粒子能级或微观粒子组成，它们从物理上反映微观粒子的动力学和拓扑性质的演化。例如，量子玻色（Bose）网络，尽管它可能是非平衡的或不可逆的，但网络的演化可映射为玻色气体的变化，网络节点对应于能级，其联线表示粒子；这时一个节点吸引了大量的连接线，其演化的结果可导致类似于玻色－爱因斯坦凝聚现象。

【下面的证明从略】

有趣的是上面所构造的系统不是一个平衡态玻色系统，其中一个原因是合格能级数（节点）和粒子数（连线）两者随时间呈线性增长，这同具有固定尺寸的量子系统不大一样。但计算表明在热力学极限时，适应度模型可以反映玻色气体的性质。

上述方程(3）存在解的条件是化学势必须满足方程(7）。然而在式(8)中处取极大值，而当时，式(8）是无解的！注意正是这无解时对应于玻色－爱因斯坦凝聚态。图1示出复杂网络与玻色－爱因斯坦凝聚类比及对应关系，出现一个有限却极多的部分粒子凝聚在最低能级水平上，即在玻色－爱因斯坦凝聚态网络的适合节点吸引所有对应于密集低能级的连线，并使高能级变得很稀疏。

图1复杂网络与玻色－爱因斯坦类比及对应关系示意图。

令人惊奇的是，根据爱因斯坦1924年预测的BEC现象,在复杂网络中竟然对应地发现了类似的BEC现象，这种现象表明：在一些实际复杂网络中存在胜者通吃，某节点会获得所有链接，使其变成星状网络。因而具有BEC特征。这种胜者通吃行为，正如巴拉巴西在《链接》里指出，网络适应性取代了BEC中的能量，网络中的每个节点都对应玻色气体中的一个能级，节点的适应性越高，其对应的能量就越低。

网络中的链接对应气体中的粒子，每个粒子也有特定的能级。正是这种对应关系带来的最重要结果是，某些动态网络演化会出现玻色-爱因斯坦凝聚现象，这就将复杂网络的研究自然而巧妙地推到了物理学的怀抱中。随后，巴拉巴西和阿尔伯特在《现代物理评论》上发表“复杂网络的统计力学”专题综述，阐明了统计力学理论方法在复杂网络中的多方面的应用，从此物理学家在网络科学中发挥越来越举足轻重的作用，使得物理学，特别是统计物理，成为网络科学的两大理论基石之一。

长期以来，人们一直把网络当作数学领域的几何模型，即把图论作为最重要的理论基石。但是，当物理学家发现了真实网络是快速演变的动态系统后，某些网络会出现玻色-爱因斯坦凝聚（BEC)现象，即在某些网络中最适应的节点从理论上讲会吸引所有链接，其他节点一个也得不到。结局就是胜者统吃。理论上证明了在适应性模型和玻色气体之间确实存在精确的数理对应关系。这意味着，网络和玻色气体在控制行为的原理上是相同的。复杂网络的一些特性将微观和宏观世界有机地联系在一起，这种内在联系不仅令人惊奇，而且令人信服。人们终于认识到，根深叶茂和博大精深的物理学，尤其是统计力学，确实已经成为网络科学的重要的理论基础和有力的武器之一。

2012年 1月巴拉巴西在《自然物理》出版的关于复杂性专刊里“网络统领”一文明确指出：“作为一个范例，还原论已经过时了；作为一个领域，复杂性研究也疲劳不堪了；因此，现在由网络科学来统领了。基于数据的复杂系统的数学模型正在提供一个新鲜的视角，迅速发展成为了一门交叉学科：网络科学。”这里明确预示：网络科学大有替而代之复杂性科学之势。但是，我认为，复杂性科学的理论内涵非常丰富，涉及交叉面极其广泛，是迄今任何学科尚不能完全替代的，许多新兴交叉科学应该是相辅相成，相互融合，交叉发展，共同促进。

2.  统计物理的主要理论武器及其在网络科学中的广泛应用

如上所述，阿尔伯达和巴拉巴西2001年在美国著名的“现代物理评论”上发表了题为“复杂网络的统计力学”的长篇综述，既系统地评述了复杂网络的研究进展, 又精辟介绍了统计物理的主要理论和方法在网络科学中的应用, 特别是关于网络拓扑特性及动力学的统计力学研究所取得的一系列成果和重要进展, 很好阐明了目前统计力学中在网络科学的应用涉及到的主要理论武器有：主方程、Forkker-Plank(福克-普朗克)方程，平均场理论方法，自组织理论，临界和相变理论，熵的概念，以及渗流理论等。接着, 2002年Dorogovtsev与Mendes 评述了网络演化问题。2003年Newman对复杂网络的结构与功能的研究进展作了系统的综述。2004年Park 和Newman 进一步把统计系综推广应用于复杂网络的平衡态研究。2011年出版了毕桥与作者的合著《网络科学与统计物理方法》（北京大学出版社），书中比较系统和详细讨论了网络科学与统计物理方法的主要基本理论和应用研究进展。同时，我们沟画了复杂网络的平衡态理论框架和基本路线图，既包含Park-Newman的思路，又有拓广和阐明了我们的思路，

图2复杂网络的平衡态统计方法的理论框架和基本路线示意图。（QiaoBi, Jin-Qing,Entropy of Complex Networks and the HUHPMApproach, Physca A,2005)

概括在图2中，其中包含深刻而广泛的课题和研究内容，这对于深入理解和探索复杂网络的统计系综特性具有一定的启发性和引导性，将有助于掌握统计物理在复杂网络中众多应用。

自从吉布斯综合出一般平衡态统计系综理论以后，许多理论学者都试图将吉布斯理论推广到非平衡领域，尽管许多学者做了大量的工作，然而非平衡现象理论的建立不可能像吉布斯系综理论那样成熟和牢靠。迄今，如何建立非平衡和平衡统计系综的一个统一框架，仍然是是国内外面临的一大挑战性课题。

3.探索平衡态与非平衡态统计物理的统一之路

搞清楚从平衡态向非平衡态的发展的物理过程、现象和规律，统计物理具有责无旁贷的责任。统计物理包含平衡态和非平衡态两部分。平衡态统计物理，是以吉布斯（Gibbs）平衡态统计系综理论为代表，途经一百多年数代科学家的研究和发展，其基本概念和方法已趋于成熟和稳定，尽管在如何应用到具体网络模型上，还需要磨练。如何提炼出网络模型的哈密尔顿函数（Hamiltonian），就是一大难点。另外，怎么把统计物理概念同网络概念进行协调融合贯通的问题，也需要创新。例如，在量子网络中度、度分布所对应的算子（符）是什么？如何通过密度算子计算出度、度分布期望值。另一方面，非平衡态统计物理，它作为一个独立活跃的学科，从一开始就是从大量微观粒子的貌似杂乱的运动规律中揭示和理解非平衡态系统的宏观运动和演化规律，进而理解系统不可逆的实质，达到理解和改造宇宙的演化，控制、甚至克服物理或生命系统衰老的理想目标。然而在长达几十年的奋斗中，它还远没有达到胜利的彼岸。

迄今统计物理的基本矛盾仍然是：经典力学和量子力学，乃至爱因斯坦场方程都是时间演化对称的，可逆的，然而热力学第二定律所描述的自然界和社会所有实际系统都具有时间演化的破缺性，是不可逆的。宏观热力学第二定律和微观动力学的这种矛盾称为不可逆性佯缪，这个矛盾当然也是世界顶级科学家，包括普里高津学派即Brussels-Austin （布鲁塞尔-奥斯汀）学派一直重点思考的问题。它在现代统计物理中的具体表现为：时间反演对称的刘维尔（Liouville）方程，长期被认为是统计物理基本方程，它与平衡态统计物理中微正则、正则和巨正则三个统计系综分布函数是协调的，可用它来计算平衡态的熵。然而，当用它来推算和解释非平衡态宏观系统的不可逆性，解释以混沌、分形和孤立子为代表的非线性，复杂性系统的不可逆性，就可能给出错误的结果。这一点对网络科学的发展犹为重要，因为绝大部分网络，如果具有复杂性的话，是开放的，不可逆的，非平衡的，可以演化的，包含着随机性和确定性，可以是非线性的、混沌的和自相似的，等等，非平衡态统计物理才是比较好的适合的理论武器和处理手段。

于是，人们自然提出网络科学的发展同样需要探索：什么是不可逆性佯谬的起源？为什么自然界似乎是用两个头脑思考，在动力学基础上是演化对称的、可逆的，在热力学第二定律基础上是演化对称破缺的、不可逆的？是因为统计热力学规律本质上有别于动力学规律吗？值得思考啊！因为统计热力学必然同随机性、概率性的因素有关，但是这些随机性、概率性的因素是我们认识经验的不完备造成的呢？还是自然界固有的本质所在？以普利高津为首的布鲁塞尔-奥斯汀学派始终强调，不可逆性是客观存在的，认为不可逆性是人类知识的不完备性所造成的幻觉，是违背非平衡统计物理所揭示的不可逆在形成新的耗散结构中所起的建设性作用的事实，也违背非线性科学所揭示的各种复杂性运动和演化的事实。因此原则上，自然界应该能够寻找到描述非平衡态和平衡态的一个统一表述的理论框架，这样的统一表述框架是客观存在的。非平衡态统计物理应该有基本方程。但是若有，它是什么样的形式呢？难道它就是在刘维尔方程后面加上些新项作为补充吗？这一方程可否由非平衡熵演化方程导出？复杂网络的非平衡熵又遵守什么样的演化方程？熵产生率的微观物理基础是什么？开放网络的熵又如何推动网络演化？所有这些问题，首先归结为能否建立一个新的拓展了的刘维尔方程，使之不仅能够适应于平衡态统计系统而且也能够适应于非平衡态统计系统。近二十多年，部分新探索就是围绕这些问题展开的，力图发现统计物理新的基本方程。但是要获得普适的、北国防接受的平衡态非平衡态统计物理基本方程，谈何容易？如果在刘维尔方程后面添加新项，表现同所有复杂系统，包括经典的、量子的系统相协调，目前还无一个方程能达到这样的境地。在这一问题上基于子动力学方程和非平衡态系综理论，我们提出平衡态与非平衡态的一种统一的研究方案（框架），如图3所示。我们在《网络科学与统计物理方法》一书中的研究表明：子系统的密度分布需要系统开放体系的自由哈密尔克顿（Hamiltonian）的本征投影算符加上总系统哈密尔顿。

图3 平衡态与非平衡态的一种统一理论方案.

而是我们提出一个子动力学方程，这是一个适应于非平衡态统计物理新的基本方程。原来刘维尔算子已变成“中介（或碰撞）算符”，它们之间通过相似变换才能联系起来，并且对应于不可逆系统，这一变换是非么正的。这样一来，由对原刘维尔算子进行非么正相似变换而构造的“中介（或碰撞）算符”所带来的子动力学方程就是一个统计物理新的基本方程。当相似变换么正时，这一方程就退回到原刘维尔方程的等价表示，并且“中介（或碰撞）算符”同原刘维尔算子具有相同的谱结构。显然，这时它们所对应的三大系综密度算子计算公式是相同的。当然，布鲁塞尔-奥斯汀学派创立的子动力学的理论还需要进一步完善和发展。我们坚信：网络科学与统计物理在计划更深入的交叉研究中，一定能够相互促进，相辅相成，相得益彰，共同获得进一步发展和完善。今后统计物理理论方法必将在网络科学的应用中发挥更大的作用，推进网络科学的深入研究和发展，取得新的更加辉煌的成果。在此，我们寄无限希望于我国年轻一代人能够作出无愧于时代的贡献，造福于全人类。

致谢：国家自然科学基金资助项目(No.61174151)的支持深表感谢。