图1. 美东海岸。（姜健摄）

光阴荏苒，白驹过隙，转瞬到了公元2016年。美东跨年暖冬，时而阴霾密布，乌云翻滚；时而艳阳高照，碧空如洗。长岛沿岸，芳草萋萋，兰花萌芽，蒲公英怒放，金色花朵，冬日下璀璨耀眼。漫步于琼斯海滩，岸上烟雨朦胧，氤氲温润；无际大海，奔腾咆哮，惊涛拍岸，令人豪情满怀，胸襟万里。

回顾2015年的周遭际遇，令人不胜唏嘘。2015年，我们的研究重点之一是离散最优传输映射理论的工程和医学应用。2013年夏天，罗峰教授，孙剑教授和老顾相聚于清华园数学科学中心，在丘成桐先生的指导下，开始了离散最优传输映射理论的创建工作。我们给出了凸几何中Alexandroff定理的一个基于变分原理的构造性证明，同时给出了求解Monge-Ampere方程的指导性方法。高洁教授指出了这一方法用传统计算几何中Power Voronoi Diagram语言的解释。我们随即将结果发布【1】，一年之后， 这一理论被数学期刊接受。但是，那时我们低估了这一方法的工程难度。历经多次磨难之后，我们终于发展出了稳定高效的软件系统，并将离散最优传输映射理论用于计算机视觉方面的曲面注册和几何聚类问题。最终两年后的2015年，这一工作被计算机视觉期刊接受【2】。这一工作给出了用Wasserstein 聚类进行几何聚类的普适框架，适用于任何维度。2016年的一个工作重点是将这一理论推广到高维情形，这一工作的工程难度超出我们当初的想象。

2015年最大的惊喜来自于全纯二次微分计算方法上的突破。十多年前，丘先生和笔者用霍奇理论解决了全纯一次微分计算方法【3】，当时丘先生就说：“理解Teichmuller理论的关键是全纯二次微分。我们未来的任务是计算黎曼面上的全纯二次微分！”多少年来，老顾和合作者们：罗峰教授，雷诺铭教授，王雅琳教授，以及各个团队为了这个目标，前仆后继，百折不挠。老顾的博士生Mayank Goswami从2008至2013年潜心研究这个问题，最后给出了平面多边形区域上全纯二次微分的解析计算方法，这一方法是基于Schwartz-Christoffel公式的，发表在计算几何领域【4】。这种方法只能用来计算简单曲面（平面多边形）的全纯二次微分，计算能力非常有限。

另外一种方法是基于霍奇理论，通过求全纯一次微分的乘积来计算全纯二次微分，林同学在这一方向上取得了成功。这种方法可以适用于拓扑复杂的曲面，同时主要计算方法等价于求解椭圆型几何偏微分方程，因此相对简单直接。但是，这种方法不适用于超椭圆曲面（hyperelliptic），同时对于全纯二次微分没有直接的控制。

第三种方法是基于Schramm的Square Tiling方法，实质上是经典的长度-面积的变分法。昆明的访问学者张教授，陈同学，钱同学等等在这个方向上取得了一定的进展。组合方法适合计算机编程，并且将整个问题转化为凸优化问题，因此理论明了，几何图景清晰。但是这一方法是否可以直接推广到拓扑复杂情形，理论上并不清楚。与北师大的访问学者崔教授，和昆明团队探索了很久，理论上难以突破，因此沿着这方向上，研究受挫。

第四种方法是基于Strebel的变分理论。这一方法在各种可能的曲面切割方式中寻求特定能量的极值化，理论完备，手法奇特。林同学，温同学沿着这一方向进行了努力尝试。这种方法的每一次迭代都需要重新切割曲面，计算每个连通分支的共形模，收敛非常慢，无法保证计算的收敛速率和计算精度。虽然理论上美轮美奂，但是实践中工程难度过高。

第五种方法是将带度量的曲面转换成代数曲线，再用代数方法显式计算全纯二次微分。吉林大学的访问学者雷教授是计算代数方面的专家，我们一同探讨这一方向的算法理论。目前的策略偏重于构造度量曲面上所有亚纯函数形成的域，然后将黎曼面全纯嵌入到复射影空间中，再运用代数方法计算消逝理想。

雷教授的博士生任同学正在依循这条道路探索。这条道路需要大量代数几何的思想和方法，和我们传统基于微分几何的手法迥异。目前依然处于探索道路，积累经验阶段。

第六种方法是基于广义度量空间的调和映照理论，理论深邃复杂，超出光滑流形范畴。雷教授的博士生郑同学承担了这个艰难项目的探索任务。郑同学从小矢志献身科学，志向远大，肩负父母的嘱托，一向稳重踏实，勤奋刻苦。奈何读博多年，虽有一定成果，但距离郑同学心目中的大问题仍有一段距离。郑同学因而觉得郁不得志，终日愁云惨淡，落落寡合。我们深知探索的风险，雷教授异常担心受挫后，郑同学是否会堕入抑郁症的边缘。思虑再三，在全面考察了郑同学的理论修养，编程能力，性格成熟程度，心理承受能力之后，最终决定让他放手一搏。经过几个星期的艰苦努力，郑同学几乎每天都通宵达旦。奇迹终于发生了，在2015年12月下旬，郑同学的计算机屏幕上终于出现了我们多年魂牵梦萦的几何结构- Strebel 全纯二次微分。雷教授兴奋地夸赞道：“这是最好的新年礼物！”这是迄今为止，最为稳定，普适和精确的算法。

在2015年12月21日，丘成桐先生请我们到家里共进午餐。我们向他汇报了这一进展，丘先生不住地颔首，欣慰地微笑。

回顾多年来的探索过程，其坎坷艰辛令人难以想象，最后的算法却又出奇的简单明了。所有参与探索的博士生都从不同的侧面为此做出了直接或间接的贡献。每一条途径都有自己独到的优势，特殊的应用场合，是其他方法无法取代的。最终的结果不应该以成败论英雄。另一方面，每个参与的博士生都只看到了整个历史进程的一个侧面，无法直接了解全部图景，无从理解问题本身的意义，无法洞察其内在的深度和难度，因此容易厌倦和消沉。在方向不明朗，心灰意冷之时，最为明智的方法应该多和目光深远的过来人交流，或者学习一些新的技能以充实自己，等待时机。

离散最优传输从理论的建立到工程界的认可，我们花费了三年左右。全纯二次微分的路要更长一些，因为这一理论的抽象程度远甚于最优传输理论，同时到实际应用的距离远远超过最优传输。但是，作为自然界的一部分，我们相信这一理论方法必会对工程领域带来深远影响。我们也预期到我们的方法被接受过程的曲折漫长。2016年，我们的研究重点在于应用这一几何结构于具体的工程问题，彰显这一抽象理论的实际威力。这需要很强的创造力和艰苦的心智劳动。通常工程界的评审人对于抽象的理论具有本能的怀疑和抵触，这需要我们具有巨大的耐心和包容心。

同这些年耗费的苦心相比，所得的算法显得非常简单，可谓“两句三年得，一吟双泪流”。但是，我们用自己特有的方式揭示大自然的又一美轮美奂的几何结构，无论人类社会承认与否，我们都会感到宁静和满足。

从黎曼度量到共形结构

图2. 兔子曲面上面的等温坐标。

流形无法用一个坐标系整体覆盖，只能被一族局部坐标系覆盖。局部坐标的选取具有很大的自由度，选取合适的局部坐标，可以简化微分算子，因而简化理论证明和实际计算。曲面上，最为常用的一种特殊局部坐标系，叫做等温坐标。假设曲面配备有黎曼度量，开集的局部坐标为，使得度量张量具有表示形式

，

这里是定义在开集上的函数，那么被称为是等温坐标，或者等温参数。这意味着曲面的黎曼度量和平面的欧式度量共形等价。

在等温参数下，Laplace-Beltrami算子具有极为简洁的形式：

，

曲面高斯曲率的公式得到极大简化：

。

等温坐标的存在性是一个绕有兴味的问题，对于曲面上的任意一点，存在开集，使得此开集内存在等温坐标。

假设度量曲面可定向，那么曲面上所有的等温坐标构成曲面的一个图册，并且局部坐标之间的变换是共形的，平面上的共形映射等价于全纯映射，因此等温坐标构成的图册是一个共形图册。换言之，曲面上的度量自然诱导了一个共形结构，即和黎曼度量相容的共形结构。由此我们得出结论：所有可定向的度量曲面都是黎曼面。等温坐标架设了黎曼面理论和曲面微分几何之间的桥梁。

当年，在西南联大，陈省身先生教杨振宁先生微分几何，一次陈先生将曲面等温参数的存在性作为一道作业留给杨先生。杨先生百思不得其解，没有给出完整答案。陈先生提示说：“要把两个坐标函数放在一起考虑！” 多少年后，杨先生在其回忆录中依然提起此事。下面，我们用拟共形映射理论来证明等温参数的局部存在性。

假设曲面的局部坐标为，黎曼度量的局部表示为

几何直观上，如图2所示，我们在曲面上放上一个“无穷小测地圆域”，用非常密集的彼此相切的测地圆来填充曲面，每个小测地圆满足方程

，

那么在参数平面上，的轨迹是一个小椭圆，椭圆的偏心率，长轴和水平方向的夹角都可以由度量矩阵系数直接算出。由此，我们可以构造Beltrami系数。令，，解Beltrami方程

，

根据广义黎曼映照定理，方程的解存在。映射将平面上的小圆映到

平面上的小椭圆，椭圆的偏心率为，长轴方向为。如果我们用作为曲面的局部参数，则曲面上的无穷小圆映到平面上的无穷小圆。换言之，是曲面的等温参数。

通过直接计算，我们可以得到

，

这里共形因子为

Beltrami系数为

，

Beltrami系数的模为

，

由此可见，Beltrai方程的解是一个微分同胚。

总而言之，定向曲面上的黎曼度量决定了一个共形结构。

从共形结构到黎曼度量

反过来，我们可以由共形结构来构造度量。首先，我们从曲面的共形图册中选取一个局部有限的开覆盖，即曲面上的每一个点被有限个开集覆盖。然后，我们构造关于这个有限开覆盖的光滑单位分解，满足紧支集的条件，

，

和单位分解的条件

。

在每个开集上选取参数平面上的欧式度量，记为，因为黎曼度量的凸组合还是黎曼度量，我们得到一个全局定义的度量，

，

可以看出来，共形图册的局部坐标就是这一度量的等温坐标。由此，我们看到，给定共形结构，我们可以非常轻而易举地构造与之匹配的黎曼度量。

总结

今天，我们讨论了通过解Beltrami方程构造等温坐标的方法，反之通过单位分解由共形结构生成黎曼度量的方法。在未来讨论中，我们可以看到，存在一个最为简单的黎曼度量和已知共形结构相容，所谓的单值化度量，其计算需要用到Ricci曲率流的方法。

【1】Xianfeng Gu， Feng Luo， Jian Sun and Shing-Tung Yau，Variational Principles for Minkowski Type Problems, Discrete Optimal Transport, and Discrete Monge-Ampere Equations, Asian Journal of Mathematics, 2015

【2】Zhengyu Su, Yalin Wang, Rui Shi, Wei Zeng, Jian Sun, Feng Luo and Xianfeng Gu, Optimal Mass Transport for Shape Matching and Comparison, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence (TPAMI), 2015

【3】Xianfeng Gu and Shing-Tung Yau. Global Conformal Surface Parameterization. First Eurographics Symposium on Geometry Processing (SGP03), Pages:127-137, Aachen, Germany, June 23-25, 2003.

【4】Mayank Goswami, Xianfeng Gu, Vamsi P. Pingali, and Gaurish Telang, Computing Teichmuller Maps between Polygons, (SOCG) the 31st International Symposium on Computational Geometry, Eindhoven, Netherlands, June 22-25, 2015.

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【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。