图1. 曲面间的拟共形映射。左帧曲面的每一个小圆盘区域都映射到右侧椭圆盘区域。椭圆域的偏心率和方向给出了Beltrami系数，Beltrami系数决定了映射。

2015年12月21日下午，丘成桐先生在中国科技会堂做了题为《几何：从黎曼、爱因斯坦到弦论》的演讲。这次演讲是由科技导报社主办，为了纪念广义相对论诞辰100周年，由国际著名生物学家陈章良主持。

图2. 中国科协副主席陈章良介绍丘成桐先生。

在这次讲座中，丘先生带领听众领略过去一个世纪始于黎曼的空间概念的演化。黎曼在1854年讲师就职论文中开创了现代几何学的观念。爱因斯坦应用黎曼的思想颠覆了牛顿重力理论，创立广义相对论，将空间的概念延拓到四维时空。弦论学家接过了爱因斯坦的衣钵，追求着统一自然界所有力的梦想。弦论的十维时空隐含了一个蜷缩的六维卡拉比-丘成桐流形，这是宇宙的内空间之形。丘先生也讲解了古老的黎曼映照定理在计算机图形学方面的应用。

图3. 丘成桐先生讲解黎曼映照。

演讲后，听众提问非常踊跃，气氛极其热烈。丘先生基于自己四十余年做学问的人生经验，给了年轻学子们非常宝贵的建议。老顾陪同丘先生访问中国科技协会，有幸在场聆听丘先生的精彩演讲，并做了笔录速记。

问：现代几何和物理的概念，例如卡拉比-丘成桐流形，非常抽象费解，因而虚幻，学习起来非常困难，如何克服这种心理障碍？

丘：科学的发展中产生了大量抽象的概念，这些概念开始出现的时候都是比较抽象和难以理解的，和人们日常经验相去甚远。依随学问的成熟，那些深刻的概念会日渐被人们广为接受，并且变得简单明了。比如黎曼流形的概念，爱因斯坦花了很多心血来学习这个概念，现在绝大多数的学者都对这个概念确信无疑。很多物理和几何的理论都是违背人类的直觉的，一个看法是否“自然”并不重要，重要的是要看它能否预言新的物理现象并在实验上予以证明。弦学的关键在于是否影响物理现象。

问：超弦理论中的弦是否可分？

丘：在目前的超弦理论中，弦是不可分的。但是在新理论产生之前不可分，并不代表它不可分。例如，在粒子物理理论中，基本粒子不可分，但是弦理论出现后，这一基本观点发生了改变。

问：我是一名理论物理方向的研究生，目前我所在领域，每年发表的论文太多了，如何才能阅读并理解大量的论文，把握住前沿？

丘：目前某个领域论文多得不得了，这正是因为人们对物理现象不理解，因而产生大量的猜测，真的理论只有一个。你应该找一个自认为最好的方向钻研下去，其他理论加以辅助。判定哪个方向最有前途，需要你的导师和你的体验，而这正是区别物理学家好坏的本质标准。

问：研究理论物理要用抽象数学，往往失去直觉。我们是应该相信直觉，还是理论？

丘：我刚刚接触狄拉克算子的时候，虽然已经积累了四十年的几何直觉，但依然觉得Dirac算子玄妙不可方物，后来用多了就觉得自然了。我询问了我的物理学家朋友们，他们也有类似的经验。再例如，四十年前没有天文学家相信黑洞的存在，现在黑洞的观念非常自然。在思想史上，类似的情形很多，许多理论概念开始很玄妙，后来就变得非常自然。

历史上，人类发展了许多假说，理论，没用的学问会被自然淘汰，剩下的都是精髓，值得集中时间和精力学习。

问：研究超弦理论是否需要把所有高深的数学都学习一遍？是否可能绕过学习艰深数学这一步骤，直接进入研究？如何决定研究方向？

丘：根据你研究的领域，需要学习一些数学理论，比如量子场论的研究需要用到黎曼面理论，代数几何等。要和导师，同学多交流，保持头脑清晰，避免思想混乱。

第一，基本的学识要学懂；第二，寻找新方向，建立自己的思想系统，分辨出好的和不好的方向；第三，要保持心态开放，同时谨慎小心，步步为营。关键是，一定要有想法。

问：量子纠缠现象是否表明超光速现象的存在？从而否定了广义相对论？

问：为什么广义相对论发展相对缓慢？量子力学发展迅猛？

丘：广义相对论的理论基础是非线性偏微分方程，难以理解，难以预测。虽然我们可以用计算机模拟，但是对于没有理论支撑的数值模拟结果，我们无法建立信心。量子力学的理论基础还是线性的，相对容易理解，所以广泛传播。同时，量子力学的各种物理现象可以由实验验证，从而直接推动技术发展；相反，广义相对论的实验涉及到大尺度，大引力场，非常难以实现，所以发展缓慢。

问：超弦理论目前无法用实验验证，我们对它如何建立信心？

丘：凭借目前的技术水平，实验直接验证到普朗克尺度不可能。但是，超弦理论揭示了许多美妙的数学几何原理，解决了数学中心腹地其他理论无法解决的问题，例如费米自和波色子的超对称，结果很漂亮，数学上很优美。从理论自洽性上讲，一定有相对真理成分。

欧洲研究组织（CERN）的大型强子对撞器（LHC）发现了上帝粒子，从而从实验上验证了标准粒子模型。我们目前建议中国政府修建下一代对撞机，希望能够找到超对称现象，从而验证超弦理论。

图4. 曲面注册问题的描述。

在工程和医学实践领域，寻找曲面间满足特定的限制条件的高质量微分同胚，一直是最为根本的问题之一。研究曲面间映射的数学分支是拟共形映射理论，其主要内容是研究曲面间映射的表示，满足特定限制的映射的存在性和唯一性，在映射空间中的优化和变分，最优映射和全纯微分的内在关系等等。

例如图4所示，给定两张三维人脸曲面，上面标注着相应的特征点和，我们希望找到微分同胚，满足

，

同时此微分同胚尽量光滑，减小几何畸变。在通常情况下，满足这些限制的共形变换是不存在的。我们需要将共形映射拓广到一般的微分同胚。

图5. 共形映射。

图6. 拟共形映射。

共形变换将曲面的无穷小圆映到无穷小圆，如图5所示；一般的微分同胚将无穷小椭圆映到无穷小圆，如图6所示。如果无穷小椭圆的偏心率有界，那么微分同胚被称为是拟共形映射。

我们考察复平面区域间的映射：

，

固定一点，其导映射给出了切平面间的线性映射，

，

由此，我们定义Beltrami系数

。

图7. Beltrami系数的几何意义。

微分同胚将无穷小椭圆映到无穷小圆，Beltrami系数的几何意义可以如下解释：无穷小椭圆的偏心率等于

，

无穷小椭圆的长轴和水平方向的夹角

。

Beltrami系数和映射的Jacobi矩阵并不等价，Beltrami系数并不反映椭圆的面积大小，因此Beltrami系数的信息少于Jacobi矩阵的信息。但是，问题的关键是，我们可以通过映射的Beltrami系数完全复制出原来映射。换言之，如下的广义黎曼映照定理成立：假设是定义在单位圆盘上的可测复值函数，，那么存在单位圆盘到自身的同胚，使得Beltrami方程成立

，

并且不同的映射彼此相差一个单位圆盘上的Mobius变换，

。

这个定理可以用辅助度量的方法证明，思路如下：

1. 是拟共形映射，在其诱导的拉回度量为，根据定义。同样的映射，在拉回度量下

是等距变换。

2. 假设映射的Beltrami系数为，则其诱导的拉回度量为

，

那么辅助度量和拉回度量共形等价，因此同样的映射在辅助度量下面成为共形映射：

。

根据经典的黎曼映照定理，这种映射存在，并且彼此相差一个莫比乌斯变换。

图8. 通过操纵Beltrami系数来控制曲面间的映射。

广义黎曼映照定理实际上将曲面间的微分同胚和源曲面上的Beltrami系数之间建立了双射。固定两个带有一个边界的单联通曲面，它们之间所有的微分同胚关于莫比乌斯变换群的商空间，和源曲面上所有Beltrami系数组成的函数空间一一对应。这样，我们就可以在Beltrami系数函数空间中做变分，从而操纵优化曲面间的微分同胚。图8就显示了这样一个例子，通过改变Beltrami系数，反解Beltrami方程，我们能够得到相应的微分同胚。

那么，在曲面之间如何定义最优映射？最优映射的存在性，唯一性如何？如何刻画最优映射？如何求出最优映射？在后面的章节中，我们将逐一回答这些问题。

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【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。