依随三维打印技术的推广成熟，增材制造工艺的日益普及，超材料设计的理论和方法蓬勃发展。超材料（meta-material）指的是自然界中所没有的一类具有特殊性质的人造材料。这类材料具有特异的光、电、磁和力学性质，而这样的效果是传统材料无法实现的。超材料的成分和传统材料没有区别，它们的奇特性质源于其精密的介观、微观的几何结构。例如负折射率超材料的微结构，大小尺度小于它作用的波长，因此得以对电磁波施加影响。

共形几何将曲面变换成平面，同时保持很多物理特性不变，可以将平面设计的超材料推广到曲面上面，同时通过变换黎曼度量来构造具有特殊性质的超材料。近期以来，石溪大学的陈士魁团队、大连理工大学的罗钟铉和雷娜团队，与老顾团队合作，共同沿着这个方向进行了富有成效的探索。

图1. 人脸曲面到单位圆盘的共形映射：黎曼映照。

共形映射是一类特殊的几何变换，如图1所示。三维人脸曲面被共形映射（黎曼映照）映射到平面单位圆盘上。局部上看，共形映射是相似变换，但是相似比逐点变化，因此将人脸曲面上的无穷小圆映射到平面上的无穷小圆。假设曲面上有两条相交曲线被映成平面上的相交曲线，曲线交角保持不变。

图2. 单值化定理。

现实生活中的任意曲面都存在共形变换，将其映射到三个标准空间中的一种：球面、欧氏平面和双曲平面。这被称为曲面单值化定理，如图2所示。单值化定理容许我们将所有曲面问题转化为平面问题处理，从而使得设计方法具有普适性。

图3. 调和能量的共形不变性。

共形变换将弯曲的形状变成平直形状，几何上面保持了局部形状。材料的很多物理特性本质上是被局部几何形状所决定，因此也被共形变换所保持。

弹性形变势能 如图3所示，我们假设曲面是由橡皮膜制成，映射到光滑的大理石球面上面，可以自由滑动。曲面的弹性形变势能在共形变换下不变。在几何上，曲面间映射的弹性形变能量被调和能量所近似，被表示为梯度模平方的积分。如果我们对源曲面进行共形变换，不改变目标曲面，则映射的调和能量不变。

稳恒流场 假设曲面上的流场无源无汇，则流场的散度处处为0，简称为无源场。如果曲面上流场没有旋涡，即流场对任意粒子沿着环路做功为0，则流场的旋度处处为0，简称为无旋场。无源无散场被称为是调和场，或稳恒场。稳恒场在共形变换下不变，因此共形变换经常被用于飞机气动力学研究和机翼的翼型设计。

在热力学中，在扩散过程的终止状态，温度的梯度为稳恒场，因此热力平衡状态的温度分布在共形变换下不变。类似的，化学物质的浓度在扩散平衡状态下的分布也是共形不变的。

图4. 等效电阻。

布朗运动和电阻 布朗运动的本质特点是在任意时刻，粒子行进方向是一个随机变量，其概率分布是单位圆周上的均匀分布。在曲面任意一点的切空间上，共形变换诱导了相似变换，将单位圆映射圆周，保持方向上的均匀分布，因此将曲面上的布朗运动映射成平面上的布朗运动。

如图4所示，人脸曲面为拓扑圆盘，我们在其边界上选择4的角点，从而将其边界分成4段，称之为左、右铅直段，和上、下水平段。那么存在一个共形映射，将人脸曲面映成平面长方形，保持角点和边缘结构。考察一个从左侧铅直边缘出发的例子，在曲面上做布朗运动，那么这个粒子首次到达边界有可能到右侧的铅直段，也有可能到达水平的边缘段。右侧铅直段的首达概率等价于整个曲面的等效电阻的倒数。共形变换保持布朗运动，因此保持首达概率，从而保持等效电阻。

相变 相变是物理中的奇妙现象，在某个临界温度，整个系统的物理特性突变。例如水由液体变成固态和气态的临界温度，铁磁体加热突然失去磁性的居里点等等。伊辛模型（Ising model），渗流理论（percolation）从组合角度研究相变。例如，我们有一个无穷大的平面图，每条边以概率p断开，以概率1-p连通，如果存在一条从原点到无穷远的路径，则我们说整个网络是连通的。渗流理论断言，存在一个临界概率，当p大于临界概率，则整个网络是连通的；当p小于临界概率，则整个网络是断开的。

图5. 渗流理论。

尤为奇妙的是，相变的临界概率在共形变换下不变。假设，我们有一个平面区域，我们对其规则剖分，再对规则剖分进行细分，直至无穷，计算临界概率。然后我们对平面区域进行共形变换，离散化，计算临界概率。那么，这两个临界概率相同。共形变换这种相变临界参数的不变性，对于超材料设计具有非常关键的作用。

共形映射保持更为广泛的物理特性，需要将物理偏微分方程和共形变换的几何方程相联系，加以详细分析。

图6. 拓扑优化得到的单元结构。

我们将拓扑优化和共形几何相结合来设计超轻超硬结构。如图6左帧所示，首先我们采用传统拓扑优化设计方法，将一个单位立方体挖去一些规则球体作为初始结构，然后逐渐减少体积比，同时保持各个方向的抗压强度，最后可以得到右帧所示的单元立体结构。

图7. 超轻超硬材料设计流程。

图7显示了曲面超轻超硬材料设计的流程。首先，我们用共形几何的方法将兔子的曲面共形映射到平面上，将平面上的棋盘格回映到曲面上，由此诱导了曲面的曲边坐标系和四边形剖分。我们在曲面的每个曲边四边形内部贴上已经设计好的超轻超硬单元结构，单元结构需要进行缩放和翘曲调整，以和曲面几何密切吻合。最后，我们将设计的方案整体打印出来，得到三维实体，如图8所示。

图8. 超材料制作的兔子。 

图9. 对比试验。

为了验证超材料的力学性能，我们进行了对比力学试验。一般情况下，连续结构比晶格结构强度要高。在这个特例中，晶格结构的强度更高些。如图9所示。我们用同样质量的材料打印了圆柱面，左侧的柱面内部用超材料加强，右侧是传统的柱面。我们施加垂直的作用力，使得整体柱面垂直方向的形变位移相同。那么，左侧的带有加强结构的柱面需要多施加42%的力。

图10. 负泊松比材料设计。

同样的方法可以用来进行负泊松比材料设计。自然界中的材料都是正泊松比材料。例如一块长方形的橡皮，如果我们上下压缩橡皮，它会左右膨胀。对于负泊松比材料，如果我们上下压缩，它会左右收缩。负泊松比材料会向受力处集中，因此可用于制作防弹衣。我们首先在平面上用拓扑优化方法设计处单元结构，然后通过共形映射，将人脸曲面铺陈到平面上，用单元结构来覆盖，在映回曲面，得到负泊松比材料制成的面具，如图10所示。

图11. 保角和保面积映射。

图12. 一般的微分同胚。

图11显示了从曲面到平面区域的保角（共形）和保面积的映射，图12显示了更为广泛的微分同胚。理论上，我们可以精确控制每一点的角度畸变或者面元畸变，从而实现从曲面到平面区域的所有微分同胚。映射会带来黎曼度量的变化，被显式或者隐式传递到偏微分方程里面，从而通过控制微分同胚来求解特定的偏微分方程。由此，我们可以设计平面或者曲面上具有特殊性质的超材料。这需要机械力学设计问题的几何化理解，和对曲面微分同胚李群的深刻掌握。

我们相信，这种结合微分几何和机械设计的思想在超材料设计领域会起到非常重要的作用，推动领域的进一步发展。

References

【1】Panagiotis Vogiatzis,  Ming Ma, Shikui Chen and Xianfeng Gu, "Computational Design and Additive Manufacturing of Periodic Conformal Metasurfaces by Synthesizing Topology Optimization with Conformal Mapping", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 328 (2018):477-497.

【2】Panagiotis Vogiatzis, Shikui Chen, Xiao Wang, Tiantian Li and Lifeng Wang, "Topology Optimization of Multi-Material Negative Poisson's Ratio Metamaterials Using a Reconciled Level Set Method", Computer-Aided Design, 83(2017):15-32.

【3】Qian Ye, Yang Guo, Shikui Chen, Na Lei, Xiangfeng Gu, "Topology Optimization of CLevel Set Methods (X-LSM) and Conformal Geometry Theory", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering.

原文发布在【老顾谈几何】公众号 （2018年7月28日）