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何谓相关逻辑？

程京德

本人自己从事并且指导学生进行强相关逻辑及其应用的研究工作。故而时常会被朋友或学生问道 “什么是相关逻辑？” “什么是强相关逻辑？” “相关逻辑能够被用来做什么？” 等等问题。本文试图尽可能通俗地回答第一个问题，另文回答后两个问题。

首先，如果从现代逻辑学分类来说，“相关逻辑”（亦被称为 “相干逻辑”，在北美被称为“relevance logic”，在英国和澳大利亚被称为“relevant logic”）是哲学逻辑的一个分支，其本质特徵为：研究以表达前后件之间相关的蕴涵关系（条件关系，条件句）的内涵联结词为核心的各种逻辑系统。

通常以 “如果（若）…，那么（则）… (if … then …)” 这种语句形式来表达的条件关系（条件句），通过语言载体，在人类社会生活中认识事物、定义概念、表述猜想（以及定理、法则、规定等）、表达推论（推理）、讨论（争论）问题等等许多方面都随处可见。相关逻辑学家们认为条件关系概念应该被视为逻辑学的核心（“We take the heart of logic to lie in the notion ‘if … then …’”[Anderson and Belnap, 1975]）。

逻辑学被认为是 “科学之科学，技艺之技艺(the science of sciences, and the art of arts)” [Scotus, 13th century]。现在世界上一般认为，作为一门体系化了的学问，传统逻辑学是由古希腊哲学家亚里士多德(Aristotle, 384-322 B.C.)所创立的。在其两千多年的发展史中，传统逻辑学始终没有能够脱离开其自然语言载体而被独立地研究和发展。尽管形式逻辑(formal logic)作为一个名词早在 1781 年就已经出现在德国哲学家康德(I. Kant,1724-1804)的论著中 [Kant, 1781]，但是近代形式逻辑的第一个形式逻辑系统（经典数理逻辑的一阶谓词演算）到 1879 年才由德国逻辑学家弗雷格(G.L.G. Frege,1848-1925)开始建立起来，并且直到 1930 年才由奥地利逻辑学家哥德尔(K.F. Godel,1906-1978)（关于一阶谓词演算的哥德尔完全性定理）基本完成。

在形式逻辑或者经典数理逻辑当中，由于目标逻辑系统中所有的逻辑概念都需要用形式化符号来表达，所以就自然出现了一个基本问题：一个形式逻辑系统中的抽象形式表达（及其解释）是否恰当地、准确地表达了其所对应的自然语言表达中应该表达的全部内容？

让我们来看看条件关系（条件句）在经典数理逻辑里面是如何被表达的。在经典数理逻辑中，条件关系是用 “实质蕴涵(material implication)” 这个抽象逻辑概念（逻辑联结词,logical connective）来表达的。“实质蕴涵”，最早是由古希腊的费罗(Philo of Magara)提出的，其含义为：“ A 蕴涵 B，当且仅当在 A 为真时 B 不为假”，这里，A 和 B 可以是任意两个命题的符号表达。显然，这样规定的蕴涵关系，仅仅考虑了前件和后件之间的逻辑真假关系，而没有顾及前件和后件之间的其它关系。如果用经典数理逻辑的形式化语言来定义，那么 “实质蕴涵” 可以被定义为：

A→B =_df ～(A∧～B), 或者 A→B =_df ～A∨B

在这里，我们分别用 →、～、∧、∨ 来表示逻辑联结词“实质蕴涵”、“否定”、“连言（合取）”、“选言（析取）”。由上面的定义我们也可以看出在经典数理逻辑中“实质蕴涵”的两点特征：（1）“实质蕴涵”实际上是其前件和后件的一个真值函数，其逻辑真值是完全决定于其前件和后件的逻辑真值的；（2）作为逻辑联结词，“实质蕴涵”不是最基本的，它可以用其它联结词来定义。

因为在经典数理逻辑中的“实质蕴涵”并不顾及其前后件之间的相关关系，所以，下面这些经验条件句（亦即，其在经典数理逻辑中的逻辑真值必须要由其具体经验内容来决定）在经典数理逻辑中都应该是真的（因为它们都是前件为真时后件不为假）：

   雪是白的→1+1=2

   雪是黑的→1+1=2

   雪是黑的→1+1=3

显然，上面这些条件句以及与它们类似的条件句，在我们日常生活当中，如果把它们当中的“→”读作（解释为）“如果（若）…，那么（则）…”，那么在含义上就都是可笑的了，因为这些条件句的前件和后件按照我们通常的认识来看毫不相干。

另一方面，下面这些经典数理逻辑中的逻辑条件句（亦即，其在经典数理逻辑中的逻辑真值仅由其形式就可以根据经典数理逻辑的定义来决定）在经典数理逻辑中都是恒真的，也就是说，它们都是经典数理逻辑系统中的逻辑定理：

A→(B→A)

B→(～A∨A)

～A→(A→B)

(～A∧A)→B

(A→B)∨(～A→B)

(A→B)∨(A→～B)

(A→B)∨(B→A)

((A∧B)→C)→((A→C)∨(B→C))

因为上面这些经典数理逻辑系统中的逻辑定理（还有许多，都是可以用这些逻辑定理在经典数理逻辑系统中推导出来的），如果把它们当中的“→”读作（解释为）“如果（若）…，那么（则）…”，那么在通常逻辑含义上就都是可笑的，所以它们被称为“实质蕴涵悖论(paradoxes of material implication)”。

现在让我们来用一个具体例子来说明，不考虑前后件之间相关关系的逻辑真“实质蕴涵”条件句会在应用上给我们带来什么问题吧。

在 1993 年 Wiles 证明了费尔马大定理之后，众多数学家都想努力对其复杂的证明加以简化。假设某位数学家到某个数学会议上去发表下面这样一个对费尔马大定理的简化证明 [Mares, 2014]：

                    The sky is blue

   ----------------------------------------------------------------------

   Therefore: There is no integer n greater than or equal to 3 such that

                 for any non-zero integers x, y, z, xⁿ = yⁿ + zⁿ.

那么，当然不会被其他数学家们所认可而大概会被嘲笑。然而，如果是依据经典数理逻辑，这个简化证明并没有什么问题。因为：（1）按照经典数理逻辑，这个证明是有效的(valid)，其前提为真时结论不会为假；（2）这个证明是健全的(sound)，其前提的确为真。

通过上面的例子，我们可以认识到，由于系统内“实质蕴涵悖论”的存在，经典数理逻辑是担负不起“科学之科学，技艺之技艺”之重任的。

为了从形式逻辑中排除“实质蕴涵悖论”，美国逻辑学家刘易斯(C.I. Lewis,1883-1964)在二十世纪二十年代提出了用必然模态算子来定义的逻辑联接词“严格蕴涵(strict implication)”的概念并构造了相应的模态逻辑(modal logic)系统S1,S2,S3,S4,S5 [Lewis, 1921-1932]。但是在刘易斯的模态逻辑中，仍然有许多逻辑定理都表现出类似于“实质蕴涵悖论”的特性而被称作“严格蕴涵悖论(paradoxes of strict implication)”。

为了从形式逻辑中排除“实质蕴涵悖论”和“严格蕴涵悖论”, 德国逻辑学家阿克曼(W.F. Ackermann,1896-1962)于二十世纪五十年代提出了非真值函数的内涵联接词“严密蕴涵(rigorous implication)”的概念并首次构造了第一个完整的相关逻辑系统 Pi'，成功地完全排除了“实质蕴涵悖论”和 “严格蕴涵悖论”[Ackermann,1956]。阿克曼的最主要思想是用一个非真值函数的内涵联接词来表达蕴涵关系，使得该蕴涵关系的逻辑真值不仅仅由其前后件的真值来决定而能够在不知道其前后件的真值时也能够决定整个蕴含关系的逻辑真值（这个思想后来被 Wright、Geach 以及 Smiley 三位逻辑学家归纳为“Wright-Geach-Smiley Criterion of Entailment”）。

因为在相关逻辑中表达蕴涵关系的是一个要求前后件之间相关的基本内涵联接词而不是其前后件的真值函数，所以，上面列举的三个经验条件句（雪是白的＝＞1+1=2，雪是黑的＝＞1+1=2，雪是黑的＝＞1+1=3）在相关逻辑中都不被认为为真。

在阿克曼开创性工作的基础上，美国逻辑学家 Anderson 和美国逻辑学家 Belnap 两人以及他们的学生们从二十世纪五十年代到七十年代在相关逻辑领域做了一系列的工作。Anderson 和 Belnap 将阿克曼的相关逻辑 Pi' 重新构造为“相关逻辑 system E of entailment”，提出了非真值函数的内涵联接词“相关蕴涵(relevant implication)”的概念并构造了“相关逻辑 system R of relevant implication” 和 “相关逻辑 system T of ticket entailment” [Anderson and Belnap, 1975]。Anderson 和 Belnap 提出了条件式前后件之间必须共享至少一个命题变量的“相关性原则(relevance principle)”这一对于真条件式的必要条件；相关性原则在形式上保证了真条件式中前后件之间的相关性，并成为所有相关逻辑所必然满足的本质特征 [Anderson and Belnap, 1975]。正是因为所有相关逻辑系统的逻辑定理都必然地满足相关性原则，其条件式的前后件之间都共享至少一个命题变量，所以，那些前后件不相关的“实质蕴涵悖论”和 “严格蕴涵悖论”就都被从相关逻辑系统逻辑定理中排除掉了。

最后，让我们来看一看相关逻辑和经典数理逻辑之间的关系是怎样的。一个形式逻辑系统的逻辑特征，可以由其逻辑定理集合来刻画。相关逻辑学家们已经证明了如下事实：（1）如果在相关逻辑中保留并使用经典数理逻辑中“实质蕴涵”的真值函数定义，那么经典数理逻辑是相关逻辑的一个真子集，亦即，经典数理逻辑的每个逻辑定理也都是相关逻辑的逻辑定理，并且这些逻辑定理恰好构成相关逻辑的真值函数逻辑定理集合部分（请参看下面左图）；（2）如果把相关逻辑中的相关蕴涵联接词（用双横箭头表示）都改用经典数理逻辑中的“实质蕴涵”联接词（用单横箭头表示）来替换掉的话，那么“这样改造得到的相关逻辑”是经典数理逻辑的一个真子集，亦即，“这样改造得到的相关逻辑”的每个逻辑定理也都是经典数理逻辑的逻辑定理，但是许多经典数理逻辑的逻辑定理（“实质蕴涵悖论”）并不是“这样改造得到的相关逻辑”的逻辑定理（请参看下面右图）。