核科学领域一直缺乏一个现成的公式，用于估算放射性核材料的衰变热。就算此领域的老专家，被问到1kg钴60的热功率时，恐怕等他/她半小时，也不一定可给出正确答案。



仲尼曰：“我欲载之空言，不如见之于行事之深切著明也”。现在，就来响应孔丘圣人之教诲，一步一步地将核衰变功率密度公式推导出来。



首先得有一个假设条件：核衰变释放的能量，最终都能被材料块自身以热的形式吸收，除中微子能量不可吸收之外。这个条件虽然有点苛刻，但并不过分。

先来定义一批符号，及其适用单位量纲：

这些符号是最终所得公式中要用的：W = 功率密度(watt/kg)；A = 平均原子量；A0 = 指定同位素原子量；B = 元素家族内丰度，如经过提纯，或该元素仅有一个稳定同位素，则B = 100%, A = A0；Q =衰变能量 (eV); T = 半命时间 (s)。

这些符号是推导过程要用的：amu = 单位原子量的质量 = 1.67*10^-27kg；eVj = 每电子伏特eV对应的焦耳数，即1.602*10^-19；N(t) = 残余未衰变的核数量N，随时间t变化的函数；N0 = 初态时的核数量。

显然1kg材料含有的原子数大致 = 1/(A*amu)，其中指定同位素的原子个数 = B/(A*amu) = 初态的N0。

对衰变函数N(t) = N0 * e^-t*ln2/T 求导数，可得出未衰变核数量的递减公式：

ΔN/Δt = -N0 * ln2/T * e^-t*ln2/T                              (1)

假设仅考虑比半命小得多的一段时间，即较“新鲜”的衰变过程t ≪ T，并代入N0的初始估计，则上式可简化为：

ΔN/Δt = - (B/(A*amu)) * ln2/T                  

显然，残余未衰变核的减少过程，伴随着放射能量的释放。而1kg材料内的能量释放速率，正是要推导的衰变热密度：

W = |ΔE/Δt| = Q*eVj*ΔN/Δt = Q *eVj*B*ln2/(A*amu*T)，

合并所有常量后，上式精简为：

W = 6.688*10⁷ *B*Q/(A*T)                                 (2)

上式对αγ两种衰变辐射全部有效，仅有β辐射需要单独修正，因为它伴随着中微子释放，而理论上讲，这是平衡角动量，以及轻子数守恒的需要。

中微子带走的能量，在本地是无法回收的，所以，不妨把它看作上帝对β核嬗变征收的“豪华消费税”，“税率”大约是40%。

至于大自然征收此能量税有何用途，俗人只能猜测了：宇宙要膨胀、行星要自转和公转（参见我的行星内炙理论的文章）、光年级里程的宇宙飞船UFO要远征、智慧生命要聚焦热中微子，点火人类尚未发明的清洁核反应堆、要满足人类窥探行星内部奥秘的好奇心，等等，哪一项都要该税收支出。

抵扣该税收后，β核衰变的功率密度核定为：

W(β) = 4*10⁷ *B*Q/(A*T)                                   (3)

有了上述公式后，此文标题所提问题可解了：

已知：钴60Co的β核衰变Q = 2,822,810eV，T = 1925.28 days = 166,344,192s，A = 60。因考虑纯核素，所以B = 1。

代入公式得到：W = 11,313 watt/kg = 11.3kw/kg。

这个有多火爆？不妨类比一下：电炉子一般1kw，一公斤钴60相当于10台这样的电炉子，永远不关这批电炉子，持续5年多，才“折旧”掉一半的寿命，或者说用掉一半燃料！

可惜，马力虽然火爆，但大批量制造60Co可不容易，代价高昂。将普通的59Co钴金属，放在商用核反应堆里“煲”足够长时间，需吸收足够多热中子，才能“孵化”出来。

而真要利用60Co的能量，也并非易事。其伴生伽玛射线，穿透力很强，几十厘米的钢板不在话下。生命细胞在伽马射线下不堪一击。故而，根本没有把60Co当作能源使用的先例，主要用于油田测井、集装箱透射检查等类似应用。

遥想当年，我所在的中原油田测井公司，丢失一批钴60放射源，惊动了国务院。可悲的是：拾到此“宝贝”的当地农民，因好奇拆解而付出了生命代价！

因功率与质量成正比，对强放射物质，为避免大量发热，需控制散料的临界质量。

顺带打游击，以此方便公式，算一些常见元素的功率密度。

钾40K，B = 0.0117%，Q = Q(β) = 1.504MeV = 1,504,000 eV，T = 1.251*10⁹ years = 3.94*10¹⁶s，A = 40.96，算出W = 4.58*10^-9 watt/kg = 4.58nw/kg.

如果将40K提纯，功率密度会放大很多倍，此时W = 38μw/kg，这是因为天然钾含40K太低的缘故。可见无论是否提纯，其功率密度仍然极低，小到没有能源价值。

同样可算出天然铀的功率密度，只不过它是α辐射，无须抵扣中微子“税”，得到的值比天然钾大2140倍，即9.8μw/kg。这个辐射值对人体仍然是安全的，只要不长期接触。

举这些例子，既有天然存在的，也有需要人造的，目的是方便有经验的人士，至少通过感性或经验，判断提炼出来的经验数学公式是否靠谱。

为了使全球科学共同体受益，我已经将推导过程写成英语论文，放置到预印本服务器上了：

Power Density Calculation Formula for Decay Based Nuclear Fuel or Battery

http://vixra.org/pdf/1704.0373v2.pdf

该论文比本博文涉及面要广一些，例如此处未讨论的相对功率密度等概念和公式。

欢迎将来改版的相关教科书，引用这一公式，敬请说明出处。