千瓦厚能源与生态实验室分享 http://blog.sciencenet.cn/u/kiwaho 太阳文火炖地球,洒遍人间光和热。新鲜的能量随手可汲,何必舍近求远挖地球?自由能源万岁!

博文

数学难题挂谷猜想的百年回眸及其川普解 精选

已有 22885 次阅读 2017-4-18 08:33 |系统分类:科普集锦| 数学, conjecture, 挂谷问题, 挂谷猜想, kakeya

1917年,日本数学家挂谷宗一(かけやそういちSoichi Kakeya)提出了数学界著名的挂谷问题,其数学表述为:长度为1的线段在平面上做刚体移动,方式不限,转动也罢,平移也行,总之不惜采用任何手段,只求转过180度调头,试问:扫过的最小面积是多少?

他在提出此问题的同时,也给出了自己的猜测,也即至今未解的Kakeya猜想:最小单连通域的面积可能趋于零

挂谷先生为何会提出这么一个烧脑的问题呢?原来他的祖国日本,人多地少,资源捉襟见肘,尤其体现在二战时闪转腾挪很憋屈,也难怪那时候提出了大东亚共荣圈的构想,不过在亚洲邻国眼里,这个共荣圈的本质就是侵略,远比不上中国如今的一带一路。

言归正传看一看问题的原型:一位武士在上厕所时遭到敌人袭击,矢石如雨,而他只有一根短棒,为了挡住射击,需要将短棒旋转一周360°(支点可以变化)。但厕所很小,应当使短棒扫过的面积尽可能小。面积可以小到多少?

如梭光阴已是2017年,算是该猜想等待证实或证伪的100周年大“庆”,尽管尚无成果可庆。

简略回顾求解历程:

正如1+1=2的哥德巴赫猜想一样,看似简单的数学证明,一定能吸引从文盲到大数学家的蜂拥而至。哎,想当年我也蠢蠢欲试。

为方便比较,所有给出值都规整为转过360度,除以2便可得扫过180度时的值。

先看没有技术含量的“文盲解”和“小学生的解”,前者以线段的任一端作为圆心旋转,后者以线段中心为圆点旋转,后者以节省75%的回旋面积完胜前者,简单得再添一句描述都显得多余。如下图所示:



数学家们肯定不会考虑上述这些几乎没有技术含量的东西。在挂谷宗一提出这个问题后,有数学家发现,若这个线段在正三角形(高为1,边长为2/√3)中每一顶点处都旋转60°,可以算出这种情况下,线段扫过面积为1/√3= 0.58比小学生的解0.78略有进步。如下图:

三角形

当然,若线段夹在两个圆之间,转过180°的面积既小于整个圆环,又大于半个圆环,当内圆的半径无限增大时,面积趋近于π/8,但始终不等于π/8= 0.39,比前者0.78又厉害了一倍多。如下图:

圆环

能否让扫过的面积刚好为π/8呢,挂谷宗一本人想到的是借助三尖内摆线,计算表明,这种情况下线段扫过的面积是π/8。挂谷本人及其他许多数学家都认为这就是最小面积了。

Kakeya_needle.gif

1928年,前苏联数学家贝西科维奇(Besicovitch,AbramSamoilovitch,1891-1970)差那么一点就解决了这个问题,答案是可以任意小。

精确描述并理解他的求解过程,得具有数学家的大脑,这显然也超出了本文的科普定位。有兴趣的朋友只好自行探究了。这里仅给出其中涉及到的佩龙树,如下图:

佩龙树

显然上述解答几乎50%地证明了挂谷猜想,唯一没能实现的是单连通域!也就是说调头过程中,线条难免有时要举高无限小高度再转一下,从一个连通域切换到另一个连通域。显然其意义大打折扣。

1971年坎宁安F.Cunningham终于在单位圆内作出面积可以非常小的单连通挂谷集,解决了单连通性和有界性两方面的问题。同时,他证明了如果限于星形(即图形内存在一点,连接它与图形中任一点的线段整个在图形中),则挂谷集的面积不小于π/108 = 0.029

然而无限趋于零的单连通回旋面积仍然遥遥无期。

与此同时,地球上智商最高,甩了著名物理学家霍金一条街,IQ可达230的华裔数学家陶哲轩Terry Tao,对这类世界难题岂能等闲视之。然而几十年辛勤的投入,相对百年的求证,还是不够用,我们只好衷心期待他能最终摘冠!

其实是同一个数学问题:看看这个要求是不是太过分了?不给任何回旋余地,还想要“三点调头”?就像下图中的汽车就在平台上原地调头,恐怕只有世界上最牛B的老司机才能办得到。或者容忍非连通域,那干脆叫2个大力士抬起来掉头得了。

Related image

这个数学问题的另一层含义是,如何运筹使得完成倒相行为消耗为零的空间资源。长期被这个问题困扰的肯定是那些蜗居的人们,这就是为何岛国日本人,以及阿拉上海人等的物件收纳水平,汽车驾驶水平世界最高,被逼的啊!

遥想10多年前在国内开车,我一个新司机,不到一年的工夫,硬是把崭新的车刮蹭得遍体鳞伤惨不忍睹,每月还收到大把的违停罚款单,尽管自认为挂谷问题琢磨得很透也没卵用;自从来到地广人稀的加拿大,再也不为空间发愁,怎么方便怎么来,哪在乎浪费了多少没必要的空间,车身几年下来也没啥刮蹭。

现在来闲扯美国总统川普如何求解挂谷问题在社会学领域的拓扑。

曾经的商场成功人士,如今的美国大统领川普,也即特朗普先生,也曾对Kakeya猜想着谜。从他与陶哲轩教授去年总统竞选时的过招,隐约可见川普先生可能也是一位业余数学家。

陶教授当时直言不韪,用复杂的数学公式,证明了川普不适合干总统这个职位。川普也毫不示弱,当天就义正言辞地在twitter帐号上驳斥陶教授,并揶揄折腾这么久的陶教授,连挂谷猜想也搞不掂,真让人失望!下图复制于他的推特:


Image result for kakeya conjecture trump fit


估计川普的数学演算,绝没有陈景润那样用掉几麻袋草稿纸,也许和我心血来潮那样花了一百多页A4纸,毕竟咱们都是业余爱好而已。其实我真正感兴趣的是他在开始总统生涯后,如何解决疑似挂谷猜想这类政治难题。

目前的朝核问题,对他来讲其实就是个政治意义上的挂谷猜想的求解:已知朝鲜铁定要发展成有核国家,且美国铁定不能容忍朝鲜拥核,显然这两者之间绝对对立,无任何回旋余地,如果朝鲜最后服软了弃核,或美国服软了悉听尊便,也即最终和平解决,这本质上就是求解回旋余地=0的挂谷猜想。

其实,他执政100天之内,发生很多政策180°大转弯的事情,例如从上任前指责中国汇率操纵国,到今天笑容可掬地声称中国不是汇率操纵国,并拿出中国有很多天(月)没有操纵汇率来证明其最新论断正确无比。

在北约等其它问题上,他的政策反相位计算,也只要一天即可完成。

观察他的政策倒相运算可以发现,他都是被逼得无路可走,即回旋面积=0的情况下,实现政策转向的。

深挖川普商场打拚的一生,竟然发现他真的是求解人生挂谷问题的老手。在选举互揭伤疤期间,希拉里爆料川普一生有多达6次的破产经历,而川普只承认4次而已。这破产可不是好玩的,对绝大多数人来说,那可是万复不劫的。

可是伟大的特朗普,竟能至少4次破产后咸鱼翻身,妻离子不散,妻越换越嫩越靓,子越攒越多越棒,柳暗花明又一村,最终成就今日之辉煌,这不正是求解挂谷猜想的精髓:置之死地而后生吗?呵呵,正能量满满又励志的心灵鸡汤!

再加上他一介政坛新手的身份,却能大胜老牌政客希拉里,更是其人生几何学造诣的点睛之笔。客观地讲,除了自身的实力外,我认为他还应该感谢美国的破产保护制度和选举人团制度,否则,要在中国这样的大环境,想想最近因破产导致的辱母于欢杀人案就后怕。

可见,特朗普的数学功底非常了得,日理万机中运筹帷幄达至愈战愈勇,赢多输少的局面,体现了川普品牌绝非平庸的地摊货,而是值得珍藏的高端品牌!

还有一个小小心愿:陶教授去年伤了您的心,如今您总统大位也登基了,千祈不要给陶教授小鞋穿,大度地化干戈为玉帛吧(bury the hatchet),他还眼巴巴指望今年的科研经费不要砍,以便早日攻克挂谷猜想,为美国争光。

无意置喙于其国内成绩单,那是美国人该关心的,世界人民只期待他能在当前美朝核危机的挂谷难题中求得真解,为地球70亿人带来永久的和平,特朗普,加油,为和平加油!


参考文献:

1、厕所里的武士刀,你挥得动吗?http://www.guokr.com/article/68848/

2、“kakeya set” https://en.wikipedia.org/wiki/Kakeya_set

3、挂谷问题 http://baike.baidu.com/item/%E6%8C%82%E8%B0%B7%E9%97%AE%E9%A2%98

4、华盛顿邮报关于川普破产历史的文章

5、陶哲轩的博客空间:terrytao.wordpress.com

6、科学网官方微博 陶哲轩:不只是“最强大脑”




https://blog.sciencenet.cn/blog-2339914-1049567.html

上一篇:权势人物结领带的科学解读
下一篇:天下老九一般臭?不见得,总体还是香的!
收藏 IP: 192.168.0.*| 热度|

54 姬扬 张忆文 李颖业 宁利中 周健 张能立 白图格吉扎布 杨正瓴 张学文 武夷山 强涛 蒋力 刘全慧 蒋德明 侯沉 许培扬 徐令予 曾泳春 朱晓刚 钱磊 邓雨来 张操 蒋迅 康建 晏成和 李学宽 赵美娣 陈南晖 李得建 张江敏 蔡庆华 郭娟 陈楷翰 檀成龙 程少堂 杨学祥 李竞 张海权 胡爱国 姚伟 gaoshannankai azzx lyyng xlsd dulizhi95 shengjianguo yangb919 zjzhaokeqin icgwang xiyouxiyou blackrain007 mxt110 haipengzhangdr xqhuang

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (65 个评论)

IP: 117.136.40.*   回复 | 赞 +1 [36]李竞   2017-4-23 07:19
      
回复  谢谢李教授光临
2017-4-25 06:371 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 222.34.4.*   回复 | 赞 +1 [35]杨学祥   2017-4-21 18:45
  
回复  谢杨教授!
2017-4-25 06:371 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 112.80.144.*   回复 | 赞 +1 [34]xqhuang   2017-4-21 10:13
谢谢好文,认真学习中
回复  互勉,拜荐了!
每次读你的文章,那才叫个爽
2017-4-21 10:511 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 124.237.56.*   回复 | 赞 +1 [33]haipengzhangdr   2017-4-20 18:29
  
回复  多谢,拜荐了!
2017-4-21 10:441 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 114.84.145.*   回复 | 赞 +1 [32]张操   2017-4-20 17:37
博主那么有才,欢迎你从你的理解,写一篇TC 交流电超光速猜想,如何?
回复  最近忙着创收抓生产,等得闲可以试一试。不过有点担心自己水平不够,这方面您是专家。
2017-4-21 10:421 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 114.84.145.*   回复 | 赞 +1 [31]张操   2017-4-20 17:14
再次祝贺博主,推荐人多达46人,打破纪录!
IP: 116.246.2.*   回复 | 赞 +1 [30]blackrain007   2017-4-20 08:10
真好文也!科普得好,也骂得好!
编辑大爷,您真是瞎了狗眼了,怎么不给置顶?!!
回复  多谢,拜荐了!我还要谦虚谨慎,多为博友们奉献更好作品。
2017-4-21 10:461 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
回复  黑雨老师这一骂还蛮管用,终于授精了
2017-4-25 06:382 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 159.226.163.*   回复 | 赞 +1 [29]蔡庆华   2017-4-20 00:12
难得一见的好文,既有科普又有时事,妙哉
回复  谢谢谬赞。喜欢就欢迎分享,如本网、微信等
2017-4-20 07:171 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 114.248.28.*   回复 | 赞 +1 [28]王毅翔   2017-4-19 21:56
  
回复  谢谢谬赞。喜欢就欢迎推荐分享,如本网、微信等。
2017-4-20 07:181 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 180.152.135.*   回复 | 赞 +1 [27]郭娟   2017-4-19 19:51
  
回复  谢谢谬赞。喜欢就欢迎推荐分享,如本网、微信等。
2017-4-20 07:191 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 124.205.76.*   回复 | 赞 +1 [26]xiyouxiyou   2017-4-19 15:02
非常有意思的题目,妄加评论一番,见谅见谅
IP: 124.205.76.*   回复 | 赞 +1 [25]xiyouxiyou   2017-4-19 14:59
线段长度为1,要转过180度,又是刚性的,那扫过的面积最小就是0.78,不可能更小。因为旋转的时候唯一的变量就是轴心的位置。当轴心取在线段的中点的时候扫过的面积最小。而所需要的最小空间的面积则存在一个空间复用的问题。因为线段是刚性的,不可能同时有两个以上轴心,所以一个轴心会把一条线段变成两个线段,空间复用最高可以实现同一空间被最多两个线段复用。所以所需的最小空间面积应该就是0.39. 具体的路径构造的核心思想正好可以用汉字“辗转”、“腾挪”和“回旋”来概括。要复用空间,首先要一个线段“腾”出空间,然后让另一方挪过来;挪的同时也“腾”出了空间,最早腾空间的线段挪进去。在文盲解中,只有辗转,没有腾挪,更没有回旋,所以扫过的面积比较大。在小学生解中,有辗转,更有“腾挪”,扫过的面积最小,但用的空间还不够小。在挂谷的三尖内摆线中,有辗转,有腾挪,更有“回旋”,挪的时候尽可能地利用已经利用扫过的面积,实现了扫过面积和最小空间的双最小。
回复  辗转,腾挪,回旋,延长线上行进,以及前述四项的任意组合同步进行等,无所不用其极只要面积最小就行。
其实我不认为挂谷猜想将来证实,更有可能是证伪。
这世界上哪有这么便宜的事情,180度的大转弯竟然不需要面积?一定存在一个极小值,极有可能是pi/108。
任何直线只要有极微的旋转,就一定要扫过一个极微的面积。仅当直线在其自身延长线上移动才没有面积。
2017-4-19 22:501 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 221.130.204.*   回复 | 赞 +1 [24]icgwang   2017-4-19 14:59
有意思的问题:“则挂谷集的面积不小于π/108 = 0.029”,好像是个密度积分的题呢!反转的几率为零,这不明摆的嘛,念头一转就实现啦!
回复  与哪个积分密度巧合?
2017-4-19 22:561 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 124.205.76.*   回复 | 赞 +1 [23]xiyouxiyou   2017-4-19 14:01
文盲解扫过的面积应该是1.57.
回复  所有数值都是按扫过360度算的,除以2就是扫过180度的。
2017-4-19 23:211 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
回复  当转过180度时,幸运的话直接与起始位置重合(如图示的小学生解),否则在起始位置的延长线上,此时在延长线上“倒车”直至重合,“倒车”不扫过面积,只耗用单维资源。
2017-4-19 23:272 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 124.205.76.*   回复 | 赞 +1 [22]xiyouxiyou   2017-4-19 13:58
扫过的面积和需要的最小空间是不一样的。三尖内摆线的面积实际上被扫过了两次,扫过的面积其实还是0.78,但需要的最小空间面积变成了0.39。
IP: 124.205.76.*   回复 | 赞 +1 [21]xiyouxiyou   2017-4-19 13:46
环形的那个解法可以实现翻转180度,怎么实现回到原位置呢?
回复  延长线上行进,不需要面积。
面积=长x宽,只要宽=0,无论多长,面积都是0。
2017-4-19 23:161 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 124.114.129.*   回复 | 赞 +1 [20]xuqingzheng   2017-4-19 10:39
有意思的问题,有意思的人儿,有意思的政治
回复  集有意思之大乘
2017-4-19 22:581 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 114.84.145.*   回复 | 赞 +1 [19]张操   2017-4-19 10:34
博主什么时候也提出一个猜想?
回复  恭喜张教授已有全球知名的张超超光速猜想。
我也有猜想,不过藏在深闺无人知:
中微子和光子一样,都是电子的“乘客”,特定条件下,都可以被甩出。光子可被甩出已被证实,就差证实或证伪中微子啦。
2017-4-19 22:551 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 114.84.145.*   回复 | 赞 +1 [18]张操   2017-4-19 10:24
这是我今天与中学老同学的对话:本来,电的能流就是在导线内部纵向传输的,可是,大学教科书说,能流是从导线外像螃蟹那样横的传输进来。奇怪不奇怪?这个科学家提一个猜想也难哦
回复  太邪乎
2017-4-19 23:131 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 124.207.149.*   回复 | 赞 +1 [17]康建   2017-4-19 08:24
"翻转腾挪"的最高境界
回复  精辟!
2017-4-19 09:401 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
回复  其实我不认为挂谷猜想将来证实,更有可能是证伪。
这世界上哪有这么便宜的事情,180度的大转弯竟然不需要面积?一定存在一个极小值,极有可能是pi/108。
任何直线只要有极微的旋转,就一定要扫过一个极微的面积。仅当直线在其自身延长线上移动才没有面积。
2017-4-19 09:522 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 114.84.145.*   回复 | 赞 +1 [16]张操   2017-4-19 05:59
很有趣的数学问题。博主博学多才!
回复  谢谢张教授赏识!
2017-4-19 09:421 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 182.40.49.*   回复 | 赞 +1 [15]王国强   2017-4-19 04:56
倒相时需要支点吗? 那中国就是朝核问题上的那个支点吧?

^_^。。。。。。。。。。。。
IP: 183.145.201.*   回复 | 赞 +1 [14]zjzhaokeqin   2017-4-18 20:26
  
IP: 210.13.124.*   回复 | 赞 +1 [13]yangb919   2017-4-18 20:19
挂谷问题的特朗普解就是反转再反转
回复  川普的作风不可预测,这样也好,就像打牌一样,不让对手知道底牌。
2017-4-19 09:401 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 223.166.231.*   回复 | 赞 +1 [12]朱晓刚   2017-4-18 12:58
  
IP: 58.249.112.*   回复 | 赞 +1 [11]xlsd   2017-4-18 12:04
  
IP: 64.251.155.*   回复 | 赞 +1 [10]侯沉   2017-4-18 11:15
好文。绝妙。在下佩服得紧。学习了。
回复  还得向您学习
2017-4-19 09:371 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 110.152.222.*   回复 | 赞 +1 [9]张学文   2017-4-18 10:35
请教:博客中的动态图是什么软件做的?
回复  直接就是gif文件。张老师别客气
2017-4-18 10:361 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 202.113.11.*   回复 | 赞 +1 [8]杨正瓴   2017-4-18 10:32
  
IP: 71.212.243.*   回复 | 赞 +1 [7]白图格吉扎布   2017-4-18 10:28
“世界人民只期待他能在当前美朝核危机的挂谷难题中求得真解,为地球70亿人带来永久的和平,特朗普,加油,为和平加油!“
回复  祈祷世界和平!
2017-4-19 09:361 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 218.197.142.*   回复 | 赞 +1 [6]张能立   2017-4-18 10:17
强烈 建议 加精!
回复  谢谢张教授高调支持
2017-4-19 09:341 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 218.197.142.*   回复 | 赞 +1 [5]张能立   2017-4-18 10:09
魏老师 博文 精彩!长见识,学习了,收藏之。学习 完 魏老师的 博文,本人 更加 对 真知 和 真理 产生 敬畏 之感。
IP: 124.214.232.*   回复 | 赞 +1 [4]宁利中   2017-4-18 09:49
拜读学习!
IP: 42.80.227.*   回复 | 赞 +1 [3]gaoshannankai   2017-4-18 09:30
您如果看了我的博文,现在中国基本上是按照我说的
给美国交一点学费,但是,并没有完全按照我说的,交的学费要从
其他国家找回来,对于德国日本韩国这些对中国没有利用价值,而且不是老大的国家,
可以从他们身上找回来。
回复  中国人最擅长打太极
2017-4-19 09:351 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 202.103.215.*   回复 | 赞 +1 [2]李颖业   2017-4-18 09:29
精彩之科普,绝妙的类比
回复  谢谢捧场
2017-4-19 09:331 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复
IP: 42.80.227.*   回复 | 赞 +1 [1]gaoshannankai   2017-4-18 09:29
川普上任前,曾经说过有可能要怎么样,然后进而对中国制裁,不光是汇率操纵,贸易倾销,
以及不遵守关贸总协定的承诺开放金融信息等市场,其实都可以弄,而且也有证据。
google,facebook都进不来,这些都是证据。
反过来,美国也给中国企业制造了麻烦,谁有实力就可以制裁别人
就这么简单
回复  川普有求于中国制朝,所以不敢太造次。
2017-4-19 09:321 楼(回复楼主) 赞 +1 | 回复

1/1 | 总计:36 | 首页 | 上一页 | 下一页 | 末页 | 跳转

扫一扫,分享此博文

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2025-2-26 05:45

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007-2025 中国科学报社

返回顶部