今年是我主讲儒尔-凡尔纳大学（Université de Picardie Jules Verne）计算机系一年级的“逻辑课”的第二年。昨天（3月5日）期中考试，现把我出的试卷译出分享：

一，试卷中文译文

逻辑课期中考试 (2020/3/5) - 儒尔-凡尔纳大学计算机系一年级

（时间2⼩时；闭卷考试）

习题1 : 课程问题（4分）

1. 一个由1个命题变元构成的公式，其真值表的大小？共有几个非等价的公式?（写出真值表来说明)

2. 给出p → q的等价公式，只能用联结符¬ 和∨表达。(写出真值表来说明）

3. 如果公式A是重⾔式，那么¬A是什么？

4. 什么是“推理（raisonnement）”？

习题2（6分）

应用基于自然演绎（natural deduction），真值表和分解树的推理方法，证明此序列：

p → (q → r) ⊢ (p ∧ q )→ r

习题3（4分）

证明联结符 {¬, →}⾜以表达任何逻辑命题公式，这⾥只需要证明通过{¬, →}表示∧和∨。 

习题4（6分）

一个人在标号为1，2，3的箱子中寻宝。宝物藏在其中一个箱子中，每个箱子上贴着一条提示：

（1）箱子1上: 宝物在这个箱子中。

（2）箱子2上: 宝物不在这个箱子中。

（3）箱子3上: 宝物不在箱子1中。

问题：

1. 引入命题变元P1表达宝物在箱子1中，P2表达宝物在箱子2中。

2. 写出一个使用变元P1和P2的公式，表达：宝物在箱子3中。

3. 写出一个使用变元P1和P2的公式，表达：宝物在其中一个箱子中。

已知三条指示中只有一条指示是正确的，帮助此人推理得出宝物所在的箱子。

二，试卷法文原文

Licence Informatique S2 

Contrôle Continue 1 (Logique, 2019-2020)

Durée : 2 heures. Documents non autorisés. 

N.B. : Le barème est donné à titre indicatif.

Exercice 1 Question de cours (4 points)

1. Quel est la taille de la table de vérité d’une formule construite sur 1 variable propositionnelle ?  Combien existe t-il de formules non équivalentes construites sur 1 variables propositionnelle ? (Justifier avec la table de vérité) 

2. Donner une formule équivalente à p → q avec comme seuls connecteurs ¬ et ∨. (Justifier avec la table de vérité)

3. Si la formule A est une tautologie, que peut-on dire de la formule ¬A ? 

4. Qu’est-ce que le raisonnement?

Exercice 2 (6 points)

Montrer la séquence suivante en appliquant les raisonnements basés sur la déduction naturelle, la table de vérité, et l’arbre de décomposition :

p → (q → r) ⊢ (p ∧ q )→ r

Exercice 3 (4 points)

Montrer que {¬, →} est suffisant pour exprimer toute formule logique (Ici, il suffit de montrer que l’on peut représenter ∧ et ∨ par {¬, →}).

Exercice 4 (6 points)

Une personne cherche un trésor dans 3 coffres numérotés de 1 à 3. Un seul de ces coffres contient le trésor. Sur chaque coffre il y a une instruction : 

(1) Le trésor est dans ce coffre.

(2) Le trésor n’est pas dans ce coffre.

(3) Le trésor n’est pas dans le coffre 1. 

Questions：

1. On introduit des variables propositionnelles P1 pour représenter le fait que le trésor est dans le coffre 1 et P2 pour représenter le fait que le trésor est dans le coffre 2. 

2. Donner une formule qui utilise les variables P1 et P2 et qui est vraie exactement lorsque le trésor est dans le coffre 3. 

3. Donner une formule qui utilise les variables P1 et P2 et qui représente le fait que le trésor est exactement dans un des coffres. 

4. Sachant qu’une seule des instructions est vraie, en déduire dans quel coffre est caché le trésor.