魔方：无公式复位的数学原理

没有公式，真的可以把一个任意搅乱了的魔方复位。

就像下象棋不需要数学公式一样，复位魔方也不需要数学（还原）公式。

当然了，对于残局，有一些对应的套路（关键点）。无公式复位魔方，靠的也是一些套路（关键点），这些套路仅凭直觉就可以入套，而不需要还原公式。

严格说，只有一个RUR’U’指法，如同佛家的捻珠法，没有数学公式。

值得强调的是，这种“无公式复位”方法，特别适合于65岁以上的老年人，当然也适用于幼儿园的小朋友。因此，“无公式复位”方法，几乎可以覆盖人的全部年龄段，因此，是一个真正的永恒的主题。

首先，建议你买2个好一点的魔方（非贴纸类型，转动时可切角），“切角”功能非常重要。例如，操作魔方时，理想的转动角度是90°。如果转动不到位（和90°偏差较大），仍然不影响下一次的转动，则说这个魔方具有“切角”功能。

人们敲打键盘时，有一种本事叫做盲打。对于盲打，与其说是人的本事，不如说是键盘的本事。如果键盘被敲打后那个键不能马上弹起，或者键盘被敲打几次后，那个键才能被敲打成功。在这种情况下，无论人有多大的敲打本事，都无法真正做到盲打。因此，我基于这个事实才说：对于盲打，与其说是人的本事，不如说是键盘的本事。

键盘发展到一定程度，才有盲打的手艺。同样，魔方发展到一定程度，才有盲转的手艺。请注意，我这里的“盲转”不是指那种“蒙眼复位魔方”。我这里的“盲转”对应于键盘的“盲打”。简单说，盲打是不看键盘的，而盲转也是不看魔方的。对于盲打，手指在敲打键盘时是有分工的；同样，对于盲转，手指在转动魔方时也是有分工的。这就引出一个概念：魔方指法。

1．魔方指法

啥叫魔方指法呢？

《易传·系辞》曰：“河出图，洛出书，圣人则之”。魔方能一路走来，和数学有关。魔方能风靡全球，和数学有关。魔方能经久不衰，和数学文化有关。

数学的思想和数学的灵魂，未必都能体现在数学公式里。“无公式复位”还原魔方，则正是从思想和灵魂层面来还原魔方，不需要数学公式（复位公式），只需要魔方指法和简单的直觉。什么叫简单的直觉，例如，人们吃饭不用照镜子，就能找到嘴；人们使用挖耳勺的时候，也不需要照镜子，靠的就是简单的直觉。

2017年，我在《魔方里的数学密码》（知识就是力量，2017年第10期）写道：魔方里到底有什么数学呢？先让我们简单讨论魔方的“离家”和“回家”问题。当你打开魔方的包装后，拿在手里的是一个处于原始状态的魔方，即魔方处于复位状态。显而易见，魔方的原始状态只有1个。如果魔方处于原始状态，我们说魔方是在家里。如果你是个新手，扭转魔方时，不要让魔方离家太远，以便真正从直觉上体会魔方离家和回家的感觉，即搅乱过程和复位过程中魔方状态的基本关系。

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魔方指法和魔方Loop结合，缔造了一种真正的试错方法（Trial and Error）。魔方无公式复位，包含了Trial and Error的全部特点：反复、多角度、多尝试，直至成功。魔方Loop就相当于乘坐魔方的环形地铁，这条单向环形线路只有6站，我们不怕坐过了站，也不怕提前下车，因为我们随时可以修正错误，而不会导致前功尽弃。

2.魔方Hold

在具体论述魔方指法之前，还需要先介绍一个概念，魔方Hold，也算是一个数学参数，相当于对号入座笛卡尔坐标系。

物理学说：没有参照系就没有办法描述运动。同样，没有参照系就无法描述魔方的转动。魔方Hold就是如何用手把持魔方，以便对号入座。如先让魔方按照图1(a)或图1(b)对号入座，以便明确F、U、R和L的定义。

图1 无公式复位时的魔方Hold

魔方Hold，就是如何Hold魔方，即如何把持魔方。如图1(a)，Hold魔方，指向你的面是F，向上的面是U，左边的面是L，右边的面是R。如图1(b)，Hold魔方，向上的面是U，左边的面是L，右边的面是R，如此Hold魔方，指向你的就是一条棱边，我把这条棱边称为Hold线，如图1(c)所示，其左边是L，右边是R。魔方Hold就是让魔方对号入座，然后才能有的放矢地实施魔方指法。

无论按照图1(a)或是图1(b)的方式Hold魔方，这个姿势要一直保持完成一个目标。因此，魔方Hold和魔方指法是相呼应的。与魔方指法密切相关的另外一个概念，是魔方Loop，相当于魔方操作循环。

3.魔方Loop

首先，你用右手顺时针90°转动魔方的右面，即R；然后，你用右手逆时针90°转动魔方的右面，即R’。实际上，这两步操作就是RR’=I，意思是魔方先转动R，再转动R’,即先把魔方转动了一下，再相反方向转动一下，退回来了。这是魔方最简单的Loop，即RR’=I。这里的I相当于数学里的整数1，也相当于群论里的单位元素e.“相当于”变成“等于”的时候，是有前提的。因为R’=R^-1，这是符号定义。如果把R看作是数学变量，则有RR’=RR^-1=R⁰=1.如果把R看作是群元素，则R^-1就是这个元素的逆，则有RR’=RR^-1=e.在群论里，e被称为单位元素，也称为恒等元素，可表示为单位矩阵。毫无疑问，整数1和单位矩阵绝对不是一回事。如果混淆了这一点，用数学来玩魔方有时候就玩不转。魔方转动R，然后再退回来，我把这个物理过程表达为RR’=I，如图2所示，这个过程可以被称为魔方Loop.

图2 RR’=I 的Loop和指法

这里的I，既不同于1，也不同于e.魔方的Loop有一个重要的参数，称为Loop指数。例如，R⁴=R^4=I，也是一个Loop，其指数为4.这个Loop表达式的含义为：对魔方连续操作R，4次之后，魔方回到操作前的状态。显然，RR’=I的Loop更简单。下面论述魔方指法就从魔方最简单的Loop开始。

4．魔方RUR’U’指法

因为RR’=I太简单了，无法操控魔方小块的运动。但是，RR’=I是练习指法的第1步。这个操作很简单，幼儿园的小朋友都可以完成。

为了实现操控魔方小块的运动，针对RR’=I里的RR’，在R后插入U，在R’后插入U’，于是得到RUR’U’操作序列。U表示顺时针转动U面90°，U’表示逆时针转动U面90°。先论述RUR’U’的指法，然后论述RUR’U’的Loop特性。

图3 RUR’U’指法

如图3，左手Hold魔方，右手大拇指和四指操作R和R’，右手食指操作U，左手食指操作U’.如图3所示，我只图示了位于前右上角和前右下角两个角块的运动。

图4 L’U’LU指法

如图4，右手Hold魔方，左手大拇指和四指操作L和L’，左手食指操作U’，右手食指操作U. 如图4所示，我只图示了位于前左上角和前左下角两个角块的运动。

5．左右手的感觉和指法镜面对称

我们的左右手可以合拢，物理学说这是一种镜面对称，数学上可以用公式来描述。毫无疑问，镜面对称可以用手来感觉。如果把这种感觉延伸到魔方，就会得到指法的镜面对称和Loop的镜面对称。图3和图4 就显示了这种镜面对称性。因此，指法RUR’U’和L’U’LU镜面对称，也就是说，有了RUR’U’，可以镜面出L’U’LU，反之亦然。

6．指法RUR’U’和L’U’LU的Loop指数

因为RUR’U’和L’U’LU镜面对称，因此，RUR’U’和L’U’LU的Loop指数是相同的，都等于6，即

(RUR’U’)(RUR’U’)(RUR’U’)(RUR’U’)(RUR’U’)(RUR’U’)=(RUR’U’)^6=I

(L’U’LU)(L’U’LU)(L’U’LU)(L’U’LU)(L’U’LU)(L’U’LU)=(L’U’LU)^6=I

以上表达式的含义是：用RUR’U’ 和 L’U’LU 分别连续操作魔方，6次之后，魔方就回到了出发前的状态，分别完成一个Loop。因此，“无公式复位”还原魔方的所有套路和奥秘，都包含在这两个Loop里：一个对应右手指法RUR’U’，一个对应左手指法L’U’LU。为了便于叙述，我把RUR’U’和L’U’LU简化表示为

Rh4T=RUR’U’（Right hand 4 Turns）

Lh4T=L’U’LU（Left hand 4 Turns）

原来分别为6个字符，现在成了4个，简写符号强调了右手和左手，都需要4次操作。

前面说过，“无公式复位”还原魔方是试错法（Trial and Error）的最好例子。(RUR’U’)^6=I 的循环，就是典型的可重复特征。L’U’LU 和 F’U’FU 是 RUR’U’ 的多角度特征。在某些情况下，使用 RUR’U’ 可能需要 4 次Rh4T操作，而 L’U’LU 只需要 2 次Lh4T操作，这种不同路径就是多尝试特征。

如何记住1+1=2，不是个问题；但是，如何忘记1+1=2，却是个科学难题。如果按照指法来练习两个基本Loop：RUR’U’和L’U’LU，你就能仅凭直觉掌握还原魔方的套路和奥秘，就像骑自行车一样，不需要公式，一旦掌握了，就永远不会忘记。这就是“无公式复位”还原魔方的奥妙所在。

7．无公式复位魔方的基本步骤

“无公式复位”主要用到两个指法，熟练之后，指法就成了盲转。

Rh4T=RUR’U’，同时，(Rh4T)^6=(RUR’U’)^6=I

Lh4T=L’U’LU，同时，(Lh4T)^6=(L’U’LU)^6=I

这两个指法一步步把一个搅乱了的魔方逼到死角，最后解决了它，即把魔方完全复位。复位过程从头到尾只用到了Rh4T和Lh4T.

“无公式复位”还原魔方有7个步骤，其次序为：

（1）构造边块“层十字架”，如图5所示，然后置于D方向。

(a)边块① ② ③ 在Rh4T操作时的运动

(b) 边块① ② ③ 在Lh4T操作时的运动

图5 用Rh4T和Lh4T构造层十字架示意图

    所谓的层十字架，就是复位了底层的4个边块，而这种复位标准是以4个侧面的中心块为参照的。

（2）完成底层的4个角块，魔方复位了1层

图6 Lh4T 和 Rh4T操控角块运动

    通过随意地转动顶层，总可以把想要找的角块，置于前左上角或前右上角。如果是前左上角，用Lh4T可以把角块安置在前左下角的家；如果是前右上角，用Rh4T可以把角块安置在前右下角的家。需要强调的是，Rh4T和Lh4T的Loop指数都是6，如图6所示，在Loop操作中，位于前右上角和前右下角的角块，是活塞式的上下运动。角块上下运动的同时，角块的颜色取向也在变化，因为角块有3个颜色，上去下来，就是2个动作，2×3=6，这就是Loop指数等于6的原因。对于Lh4T，道理相同。因此，只用Rh4T或Lh4T就可以把底层的4个角块复位。如图6所示，用Rh4T或Lh4T依次可以把底层的四个角块还原

（3）完成中间层的4个边块，魔方复位了2层

对于中间层，只需要把4个边块找回来并且安置好就可以了。如果要找的边块在顶层，可以转动顶层，把找到的边块置于如图7所示的位置。因为边块有2个颜色，根据边块位于U面的颜色，选择Rh4T或Lh4T进行操作。

图7 复位4个中边块

      如图7所示，如果要把边块安置在图7(a)或7(b)的位置，对应的操作分别为

U (RUR’U’)(L’U’LU) 或 U Rh4T Lh4T

U’ (L’U’LU) (RUR’U’) 或 U’ Lh4T Rh4T

        需要强调的是，如果发现操作后没有达到目的，可以使用同样的操作再来一次，就又回到了出发前的状态，实现了纠错的目的，而不破环已经取得的成果。

（4）构造顶层“面十字架”

图8 面十字架示意图

      所谓的面十字架，就是顶层的4个边块，其顶面颜色一样，而不管4个边块侧面的颜色是否与侧面心块颜色保持一致。如果U面的4个边块呈现图8(b)或8(c)的情况，对应的操作分别为

F(RUR’U’)F’ 或F(Rh4T)F’

f(RUR’U’)f’ 或f(Rh4T)f’

如果U面的4个边块既不对应图8(a)，也不对应图8(b)，那么，仍然可以按照图8(a)或8(b)来操作，然后就可以对号入座了。符号F表示前面顺时针转动90°，F’表示前面逆时针转动90°；f表示前面两层（前层和中间层）顺时针转动90°，f’表示前面两层（前层和中间层）逆时针转动90°。

（5）解决顶层4个角块的位置（不管颜色取向）

图9 最后一层角块位置的操作

如果按照图9(a)的Hold线对号入座，交换角块块位的操作如下

(RUR’U’)^3(L’U’LU)^3 或 (Rh4T)^3(Lh4T)^3

如果按照图9(b)的Hold线对号入座，交换角块块位的操作如下

(L’U’LU)^3(RUR’U’)^3 或 (Lh4T)^3(Rh4T)^3

（6）解决顶层4个角块的颜色取向

图10 倒置魔方，角块块位已经复位

最后一层角块块位复位后，把魔方倒置，如图10(a)所示。颜色取向不正确的角块，可能是2个，3个或4个。首先把要解决的角块置于图10(b)的位置，换句话说，就是如图10(b)所示Hold魔方，根据Hold线，选择用Rh4T或Lh4T来操作，该角块颜色取向正确后，如图10(c)转动魔方底层，把下一个颜色取向不正确的角块，转到Hold线位置，然后用Rh4T或Lh4T来操作。

(RUR’U’)^n, OR (Rh4T)^n,    n=2 or 4

(L’U’LU)^n, OR (Lh4T)^n,    n=2 or 4

到底是操作几次(n=?)，你看着办吧，这就是Trial and Error方法的基本内涵。根据魔方Hold线，一旦选择Rh4T或Lh4T，就要坚持到底，直到把所有的角块都解决，中途不能把Rh4T更换为Lh4T，反之亦然。

（7）解决顶层4个边块的位置

图11 把魔方再正过来，解决最后的边块位置

(RUR’U’)(L’U’LU)(RUR’U’)^5(L’U’LU)^5             (c)

(L’U’LU)(RUR’U’)(L’U’LU)^5(RUR’U’)^5             (d)

最后的4个边块，其块位错位或需要4个边块置换，或需要3个边块置换。如果是4个边块错位，需要操作两次，如果是3个边块错位，只需操作一次。所谓的次数，我是针对表达式(c)或(d)说的。要按照图11(b)来Hold魔方，然后根据图11(c)或(d)来选择对应的表达式(c)或(d)。

只有一个RUR’U’指法，左右手合拢，又有一个L’U’LU，如同佛家的捻珠，没有数学公式。

这种“无公式复位”方法，特别适合于65岁以上的老年人，当然也适用于幼儿园的小朋友。因此，“无公式复位”方法，几乎可以覆盖人的全部年龄段，是一个真正的永恒的主题。