§0.1  振动和振动力学

       在自然界、工程技术、日常生活和社会生活中，普遍存在着状态的循环变化或物体的往复运动。这类现象称为振荡。例如大海的波涛起伏、花的日开夜闭、钟摆的摆动、心脏的跳动、经济发展的高涨和萧条等形形色色的现象都具有明显的振荡特性。振动是一种特殊的振荡，即平衡位置附近微小或有限的振荡。工程技术涉及的机械和结构的振动称为机械振动。

       在许多情况下，机械振动被视为消极因素。例如振动会影响精密仪器的性能，降低加工精度和光洁度，加剧构件疲劳和磨损，缩短机器和结构物的使用寿命，甚至引起结构的破坏。典型的案例是1940年美国塔可马(Tacoma)吊桥因风载引起振动而坍塌的事故。即使不引起破坏，汽车和飞机的振动也会劣化乘载条件，强烈的振动噪声会形成公害。然而振动也有积极的一面。例如将振动用于振动传输、振动筛选、振动抛光、振动沉桩、振动消除内应力等生产过程。此外，电系统的振动是通讯、广播、电视、雷达等工作的基础。可以预期，随着生产实践和科学研究的进展，振动的利用还会与日俱增。

       各个不同领域中的振动现象虽然各具特色，但有着共同的客观规律，可以建立统一的理论来进行研究。振动力学就是这样一门力学分支学科。在统一的力学模型基础上，振动力学应用数学分析、实验量测和数值计算等方法，探讨振动现象的机理，阐明振动的基本规律，为解决实践中可能出现的各种振动问题提供理论依据。

       关于振动问题的研究内容可用系统、激励和响应来概括。能产生振动的机械部件、工程结构等研究对象称为振动系统，简称系统。就机械系统而言，构成系统的基本要素是惯性元件和弹性元件，即质量和弹簧。实际工程系统中还有阻尼元件。质量储存的动能和弹簧储存的势能在振动过程中互相转换，阻尼则消耗系统的能量。初始干扰、强迫力等外界对于系统的作用统称为激励。系统在激励作用下产生的运动称为系统的响应。通常可将振动问题分为三类。

       1.  振动分析：已知激励和系统特性求系统的响应。为机械强度或刚度计算提供依据。

       2.  系统识别：已知激励和响应求系统的特性参数。这类问题也可称为系统设计，即在一定的激励条件下确定系统参数，使响应满足指定的条件。

       3.  振动环境预测：已知系统特性和响应求激励，即判断系统的环境特性。

实际振动问题往往错综复杂，可能同时包含识别、分析和设计几方面问题。振动力学作为一门力学课程着重讨论振动分析问题。

§0.2  振动的分类

       根据研究侧重点的不同，可从不同的角度对振动进行分类。

1.  按对系统的激励类型分为

       (1). 自由振动：系统受初始激励后不再受外界激励的振动。

       (2). 受迫振动：系统在外界控制的激励作用下的振动。

       (3). 自激振动：系统在自身控制的激励作用下的振动。

       (4). 参数振动：系统自身参数变化激发的振动。

2.  按系统的响应类型分为

       (1). 确定性振动：响应是时间的确定性函数。根据响应存在时间分为暂态振动和稳态振动：前者只在较短的时间中发生，后者可在充分长时间中进行。根据响应是否有周期性还可分为

       (a). 简谐振动：响应为时间的正弦或余弦函数。

       (b). 周期振动：响应为时间的周期函数，可用频谱分析方法展开为一系列周期可通

约的简谐振动的叠加。

       (c). 准周期振动：若干个周期不可通约的简谐振动组合而成的振动。

       (d). 拟周期振动：响应为时间的拟周期函数。拟周期函数f(t)是指对任意给定的ε>0，存在T(ε)>0，使得｜f(t)-f(t+T(ε))｜<ε。

       (e). 混沌振动：响应为时间的始终有限的非周期函数。

       (2). 随机振动：响应为时间的随机函数，只能用概率统计的方法描述。

3.  按系统的性质分为

       (1). 确定性系统和随机性系统：确定性系统的系统特性可用时间的确定性函数给出。随机性系统的系统特性不能用时间的确定性函数给出，只具有统计规律性。

       (2). 离散(集中参量)系统和连续(分布参量)系统：离散系统是由彼此分离的有限个质量元件、弹簧和阻尼构成的系统，自由度为有限个，数学描述为常微分方程。最简单也是最基本的离散系统为单自由度系统。连续系统是由弦、杆、轴、梁、板、壳等弹性元件组成的系统，有无限多个自由度，数学描述为偏微分方程。

       (3). 定常系统和参变系统：定常系统是系统特性不随时间改变的系统，数学描述为常系数微分方程。参变系统是系统特性随时间变化的系统，数学描述为变系数微分方程。

       (4). 线性系统和非线性系统：线性系统是质量不变、弹性力和阻尼力与运动参数成线性关系的系统，数学描述为线性微分方程。非线性系统是不能简化为线性系统的系统，数学描述为非线性微分方程。

      还需指出，对于相同的振动问题，在不同条件下或为不同目的，可以采用不同的振动模型。例如，外界激励很小的受迫振动可视为自由振动，微幅振动的非线性系统可近似作为线性系统处理，连续系统可将分布参量近似地凝缩为有限个集中参量简化为离散系统，在较短时间间隔内研究周期很长的周期振动便与混沌振动难以区分。模型的建立以及分析模型所得的结论，必须通过科学实验或生产实践的检验。只有那些符合或大体符合客观实际的模型和结论，才是正确或基本正确的。

§0.3  振动力学发展简史

       人类对振动现象的了解和利用有着漫长的历史，远古时期的先民已有利用振动发声的各种乐器。人类对振动问题的研究起源于公元前六世纪毕达哥拉斯(Pythagoras)的工作，他通过实验观测得到弦线振动发出的声音与弦线的长度、直径和张力的关系。在同一时期，即我国春秋时期成书的《管子》中已根据弦线振动与长度的关系提出最早的音律学原理[1]。战国时期成书的《庄子》记载了共振现象[2]。在十六世纪，现代物理科学的奠基人伽里略(Galileo Galilei)对振动问题进行了开创性的研究。他发现了单摆的等时性并利用他提出的自由落体公式计算了单摆周期。此后惠更斯(Huygens,C.)注意到单摆大幅摆动对等时性的偏离，并发现了两只频率接近时钟同步化等两类非线性现象。墨森(Mersenne,M.)在实验基础上系统地总结了弦线振动的频率特性。胡克(Hooke,R.)于1678年发表的弹性定律和牛顿(Newton,I.)于1687年发表的动力学定律分别为振动力学的发展奠定了物性和物理的基础。

      离散系统线性振动的理论在十八世纪中叶基本成熟。1727年约翰·伯努利(Bernoulli,J)研究了不计质量弹性弦线上等距分布的等质量质点，建立了无阻尼自由振动的动力学方程，并求出解析解。欧拉(Euler,L.)于1728年建立并求解了单摆在有阻尼介质中运动的微分方程。1739年他研究了无阻尼简谐受迫振动，从理论上解释了共振现象。1747年他对n个等质量质点由等刚度弹簧连接的系统列出微分方程组并求出精确解，从而发现系统的振动是各阶简谐振动的叠加，特定振型的出现取决于初始条件。1762年拉格朗日(Lagrange,J-L.)建立了离散系统线性振动的一般理论，但其中关于频率方程有重根情形的结论有误，直到1858年威尔斯特拉斯(Weierstrass, K.)才加以更正。

      最早研究的连续系统是弦线，1746年达朗伯(D’Alembert,J.R.)用偏微分方程描述弦线振动而得到波动方程并求出行波解。1753年丹尼尔·伯努利(Bernoulli,D)用无穷多个模态叠加的方法得到弦线振动的驻波解，1759年拉格朗日从驻波解推得行波解，但严格的数学证明直到1811年傅里叶(Fourier,J.)提出函数的级数展开理论才完成。1762年欧拉和1763年达朗伯分别研究了非均匀弦线和重弦线。1897年，史考区(Skutch,R.)导出了轴向运动弦线的固有频率。1784年库伦(Coulomb,C.)对圆柱扭转振动进行了理论和实验研究，而扭转振动问题是1829年泊松(Poisson,S.D.)作为他所建立的三维弹性体振动理论的特例才得到系统解决。1802年克拉尼(Chladni，E.F.F)研究了杆的纵向振动。1829年彭赛列(Poncelet，J.V.)研究了杆在冲击作用下的纵向振动，据此说明一队士兵以整齐步伐通过悬索桥的危险性。欧拉于1744年，丹尼尔·伯努利于1751年研究了梁的横向振动，导出了自由、铰支和固定端梁的频率方程和模态函数。所忽略的截面转动和剪切变形的影响，直到1849年和1916年才分别由瑞利(Rayleigh,J.W.S.)和铁摩辛柯(Timoshenko,S.)加以补充修正。1878年艾肯(Aiken,J.)研究了轴向运动梁的横向振动。1759年欧拉将弹性薄膜视为两组互相正交的弦线解决了矩形膜的振动问题，但同样方法不能解决圆形膜问题。直到1829年泊松才完全解决了膜振动问题。1787年克拉尼发表了不同边界条件下玻璃和金属板振动波节线的实验结果，激发了对板和壳振动研究的热情。1789年詹姆斯·伯努利(Bernoulli,J)将板视为两组互相正交的梁而导出缺少混合二阶偏导数项的动力学方程。1815年，热尔曼(Germain,S.)经过拉格朗日的指正导出了正确的板横向振动的动力学方程，对克拉尼的实验结果做出初步理论解释。泊松在1814年以来的系列工作中导出了板的正确动力学方程，但所建立的边界条件尚有缺陷。1928年纳维(Navier,C.L.)建立了板的弯曲振动理论并研究了三维弹性体的振动。1850年基尔霍夫(Kirchhoff,G.R.)修正了泊松的错误，引入了符合实际的板变形假说，并给出圆板的自由振动解，比较完整地解释了克拉尼的实验结果。

      十九世记后期以来，随着航海运输和动力机械技术的发展，振动力学的工程应用受到重视。实际工程结构复杂而不规则，难以精确求解，于是各种近似计算方法被相继提出。1873年瑞利基于系统的能量分析定义了瑞利商，由此提出确定基频的近似方法。1908年里茨(Ritz,W.)通过级数展开近似求解变分问题，发展为几个低阶固有频率的近似计算方法。级数展开的思路被伽辽金(Галёркин,Б.Г.)于1915年推广用于研究杆和板的平衡，形成伽辽金方法。伽辽金法是加权残数法一种重要的特殊形式，弗雷泽(Frazer,B.A.)、琼斯(Jones,W.P.)和斯肯(Sken,S.W.)于1937年提出的并置方法以及比齐诺(Biezeno,C.B.)和格拉梅尔(Grammel,R.)于1933年提出的子区域法也是加权残数法的特殊形式。加权残数法的一般形式由克兰德尔(Crandall,S.H.)于1956年提出，并由芬利森(Finlayson,B.A.)于1972年加以发展完善。平行发展起来的还有各种工程实用方法。1894年邓克莱(Dunkerley,S.)分析旋转轴振动时提出一种估算多圆盘轴横向振动基频的简单实用方法。1904年斯托德拉(Stodola,A.)计算轴杆频率时提出一种逐步近似方法，成为矩阵迭代法的雏型。1902年法莫(Frahm,H.)计算船舶主轴扭振时提出离散化的思想，相继被霍尔茨(Holzer,H.)于1907年改进为表格化的霍尔茨方法。类似思路分别被莫克斯塔德(Myklestad,N.O.)于1944年用于离散化的连续梁的弯曲振动。1950年汤姆孙(Thomson,W.)将这种计算轴系和梁频率的实用方法表述为矩阵形式，最终形成传递矩阵法。广泛应用于工程振动问题计算的有限元法起源于库朗(Courant,R.)1943年的工作，他基于最小势能原理，采用三角形单元组成分区近似函数讨论柱体的扭转。1956年特纳(Turner,M.J.)、克拉夫(Clough,R.W.)、马丁(Mardin,H.C.)和阿吉里斯(Argyris,J.H.)分别在研究航空工程的相关计算时，将处理杆件结构的方法应用于连续体力学问题，形成有限元法。冯康在1964年也提出有限元法的思想，称之为基于变分原理的有限差分法。

      非线性振动的研究开始于十九世记后期。非线性振动的理论基础是由庞加莱(Poincaré,H.)奠定的，他开辟了振动问题研究的一个全新方向，即定性理论。在1881年至1886年的一系列论文中，庞加莱讨论了二阶系统奇点的分类，引入了极限环概念并建立了极限环的存在判据，定义了奇点和极限环的指数，还研究了分岔问题。在定量求解非线性振动的近似解析方法方面，1830年泊松研究单摆振动时提出摄动法的基本思想。1883年林滋泰德(Lindstedt,A.)解决了摄动法的长期项问题。1918年达芬(Duffing,G.)在研究硬弹簧受迫振动时采用了谐波平衡和逐次迭代方法。1920年范德波尔(van der Pol,B.)研究电子管非线性振荡时提出了慢变系数法的基本思想。1934年克雷洛夫(Крылов,Н.М.)和博戈留博夫(Боголюпов,Н.Н.)将其发展为适用于一般弱非线性系统的平均法, 1947年又提出一种可求任意阶近似解的渐近法。1955年米特罗波尔斯基(Митропольский,Ю.А.)将这种方法推广到非定常系统形成КВМ法。1957年斯特罗克(Sturrock,P.A.)在研究等离子体非线性效应时用两个不同尺度描述系统的解而提出多尺度法。非线性振动的研究使人们对振动的机制有新的认识。认识到除自由振动和受迫振动以外还广泛存在另一类振动，即自激振动。1926年范德波尔研究了三极电子管回路的自激振动。1932年邓哈托(Den Hartog,J.P.)分析了输电线舞动的自激振动。1933年贝克(Baker,J.G.)的工作表明有能源输入时干摩擦可导致自激振动。非线性振动的研究还有助于人们认识一种新的运动形式，即混沌振动。庞加莱在十九世纪末已经认识到不可积系统存在复杂的运动形式，运动对初始条件具有敏感依赖性，即后来所称的混沌运动。1945年卡特莱特(Cartwright,M.L.)和李特伍德(Littlewood,J.E.)对受迫范德波振子的分析，以及莱文森(Levinson,N.)对一类更简化模型的分析表明，两个不同稳态运动可能具有任意长时间的相同暂态过程，表明运动具有不可预测性。为解释卡特莱特、李特伍德和莱文森的结果，斯梅尔(Smale,S.)提出了马蹄映射的概念。上田(Ueda,Y.)和林千博(Hayashi,C.)发表于1973年的工作表明他们在研究达芬方程时得到一种混乱、貌似随机且对初始条件极度敏感的数值解。

      上世纪五十年代，航空和航天工程的发展对振动力学提出了更高要求，确定性的力学模型无法处理包含随机因素的工程问题，如大气湍流引起的飞机颤振、喷气噪声导致飞行器表面结构的声疲劳、火箭运载工具有效负载的可靠性等。工程的需要促使人们用概率统计的方法，主要是泰勒(Taylor)于1920年提出的相关函数，以及维纳(Wiener,N.)于1930年和辛钦(Хинчин,А.Я.)于1934年独立建立的谱理论，研究受非确定性载荷作用的机械系统和结构的响应、稳定性和可靠性等问题，形成振动力学又一重要组成部分，即随机振动。在工程问题中，振动信号的采集和处理是随机振动理论应用的前提，七十年代以来，由于电子计算机的迅速发展，以及1965库利(Cooley,J.W.)和图基(Tukey,J.W.)建立的快速傅里叶变换算法，数字式测试设备被普遍采用。在此基础上系统的识别与诊断等实验技术有很大发展，随机振动的应用范围愈来愈广泛，理论研究也趋于深入。

      历史的回顾表明，振动力学在其发展过程中逐渐由基础科学转化为基础科学与技术科学的结合。工程问题的需求使得振动力学成为必要，而测试和计算技术的进步又使振动力学的发展成为可能。学科的交叉也不断为振动力学的发展注入活力。使振动力学形成一门以物理概念为基础，以数学方法、数值计算和测试技术为工具，以解决工程中振动问题为主要目标的力学分支。

§0.4  振动力学在工程中的应用

      工程系统如机械、车辆、船舶、飞机、航天器、建筑、桥梁等经常处在各种激励的作用下，而不可避免地出现响应，产生各种各样的振动。现代工程技术对振动问题的解决提出更高、更严格的要求，因此振动力学在工程实际中有广泛的应用。例如在机械、电机工程中，振动部件和整机的强度和刚度问题，联轴节和回转轴的扭振分析，大型机械的故障诊断，精密仪器设备的防噪和减振等。在交通运输、航空航天工程中，车辆舒适性、操纵性和稳定性问题，海浪作用下船舶的模态分析和强度分析，飞行器的结构振动和声疲劳分析等。在电子电讯、轻工工程中，通讯器材的频率特性，音响器件的振动分析等。在土建、地质工程中，建筑、桥梁等结构物的模态分析，地震引起结构物的动态响应，矿床探查、爆破技术的研究等。在医学、生物工程中，脑电波、心电波、脉搏波动等信号的分析处理等。

      尽管在各种应用领域内的振动问题千差万别，解决的途径往往具有共同性。首先要从具体的工程对象提炼出力学模型。然后应用力学知识建立所研究问题的数学模型，通常是微分方程组和代数方程组。接着对数学模型进行分析和计算，求出精确或近似的解析解或数值解。对于实际工程问题的复杂模型，通常只能求数值解，需要编制或应用计算软件，利用电子计算机作数值运算。最后将计算结果与工程问题的实际现象或实验研究的测试结果进行比较，考察理论结果能否解决所提出的工程问题。如不能解决而数学模型及求解均无错误，则需要修改力学模型重复上述过程。

      本书着重讨论处理各种工程振动问题共同需要的基本理论和分析方法，包括几类最基本的振动系统和振动形式。以线性振动为主，也简要解释如自激振动等工程中常见的非线性振动现象，以及随机振动和混沌振动的基本知识。在单自由度和多自由度系统振动问题的章节中建立振动理论的基本概念。与工程技术密切联系的连续系统振动以轴和梁为主要研究对象，也简要叙述薄膜和薄板振动的基本知识。鉴于近似计算方法在工程设计中的重要性，本书以较多篇幅叙述各种近似方法的理论依据和误差估计。对于更深入的非线性振动和随机振动问题，以及工程技术中更复杂的振动系统，如杆系、薄壳、三维弹性体等的振动问题则属于后继课程的讨论范围。这类复杂振动问题的解决也是以振动力学的理论和方法为基础。