博文
关于理论力学解题的教学
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1 引言
多数学理论力学学生都感到解题比较困难。这种困难主要有两方面的原因。一方面是理论力学具体知识的理解不准确、掌握有欠缺和应用不熟练，目前已有大量理论力学的习题指导类书籍出版，以帮助解决这些问题。这方面的问题本文不拟讨论。另一方面是学生对理论力学课程特点不够了解。理论力学是工程专业学生所学的第一门技术基础课，在此之前他们都是学习数学、物理等基础课。技术基础课不仅像基础课一样要求学生解题思路灵活，而且同时作为种最基本的工程素质培养也强调解题过程的清晰规范。
在教学中，我们注意到部分学生不能及时熟悉理论力学课程的特征和要求，因此在解题时可能显得不得要领。在开始学理论力学时，内容相对简单，与物理课程差别不显著，这时学生可以凭借物理课中的解题方法和经验，以某种在理论力学教师看来颇为神秘的方式得出正确的答案。但随着学习深入，物理学的知识和经验难以发挥作用时，学生面对习题又会无从下手。同时，与基础课所有题目都有唯一答案不同，理论力学课程某些习题的答案可能又不同的形式。此外，学生的题解往往不能区分问题的力学和数学方面，因此含有过多的数学细节。本文总结在教学过程中处理这些问题的实践。
2 解题一般过程
我们在课程绪论中就说明了理论力学的解题步骤。首先，明确研究对象。把所研究的系统从所在的环境中分离出来。在静力学和动力学中，需要画受力图以明确系统受力情况。其次，用数学公式表达描述研究对象特性的物理或几何关系。在静力学中，主要是平衡方程。在运动学中，是运动质点或刚体的运动方程。在动力学中，是动力学方程的矢量或能量表达。用不同的方法可能导出形式不同的数学公式，它们将导致相同的结果，但求解难易程度可能存在差别。第三，求解数学方程。静力学中主要是线性代数方程组，偶尔也涉及非线性代数方程。运动学包括求导运算和矢量方程的求解。动力学中可能涉及代数方程，也可能涉及微分方程，这些方程可能是线性也可能是非线性的。最后，分析结果的物理意义及合理性。如果所得到的不合理，需要重新核对前面3个步骤。这部分内容也写入我们编写的教材[1]。我们还特别强调，一旦将问题清楚地表述，必须严格依据理论力学中的相关理论进行分析而得到问题的解答，在此过程中不需要任何个人直觉和想象力。当然，校核答案时需要常识和个人经验。
上述解题步骤既是对解题思路的提示，也是对解题过程的规范。在教学中，我们对于不同的习题强调解题步骤的不同侧面。对于比较简单的习题，通过解题熟悉掌握规范的解题步骤，使得解题过程规范避免题解杂乱无章；对于比较复杂的习题，通过掌握的解题步骤提供分析问题的思路，使得思路的展开有一定程式而避免束手无策。
特别需要对学生解释，清晰规范的表达是工程技术人员所要求的重要素质。理论力学作为工程教学计划的一部分，也要培育学生这方面的能力。因此，理论力学课程不仅要想得正确，算得准确，还有表述的清楚。
3 矢量表示形式
理论力学所研究的力、速度、加速度等都是矢量，矢量可以用不同的形式表示，如用矢量的大小和方向、用所选择坐标系的单位矢量和在所选择坐标系各轴上的投影。坐标系也可以有多种选择。不同表示形式都是正确的，但在不同问题中方便程度有差别。数学和物理课程的学习使学生坚信结果应该是唯一的。因此对“多种”结果都是正确的很困惑。
这种困惑从最开始的受力分析开始。一般铰链约束的约束力方向不能确定，要用分量表示。但当被约束物体是二力构件或仅受三力而汇交时，铰链约束力的方向是可以确定的。在教学要求中，二力构件必须判断出来，而三力汇交定理可以应用也可以不应用。这两者的区别在于，没有判断出二力构件对后面的解题影响很大，而三力汇交定理虽然把平面一般力系转化为汇交力系，但很多情况下由于几何方面计算的复杂这种转化并没有使求解得到简化。这种解释使学生初步了解矢量的各种表示都正确，但有些问题中某种特定的表示更方便。
类似的问题也出现在静力学中的约束力计算、运动学中的速度和加速度计算以及动力学的动量和动量矩计算等。只要是矢量计算，就有如何表示的问题。可以对利用方便的表现形式解决问题作进一步讲解。在运动学中特别是复合运动和刚体平面运动中，自然轴系的投影用得很广泛，因为运动轨迹已知时这样不仅知道加速度的方向，而且可以由速度分析得到法向加速度的大小。当自然轴系也有局限，因为是随时间变化的运动标架，所以积分形式的动力学关系的不能在自然轴系上投影。在动力学中，在需要运动学补充关系时，有时也需要矢量关系的投影形式；此时，矢量关系的投影形式要与动力学方程的投影形式一致。
通过比较和说明，学生可以进一步理解，矢量不同的表示形式都是正确的，但某些形式的表示对于问题的研究更方便。
4 数学细节处理
习惯于数学和物理课程学习的学生，往往不注意区分解题的力学思路和数学细节，甚至出现本末倒置的情况。如在静力学中，可能会对列写方程的依据如选取的研究对象和采用的平衡方程的形式不做任何说明，而求解方程的过程写得较详细。在运动学中，对动点动系的选择语焉不详，而有求解三角形的具体计算；或者对确定瞬心的依据不加解释，而有很详细的几何尺寸计算。这样不仅使题解的重点不突出，而且不利于思路清晰地分析问题。
我们在解题教学中明确要求学生区分力学内容和数学细节。力学内容一定要清晰规范。而大多数数学细节，都可以写在草稿上，题解中只要有相应结果就可以。具体地，我们把解题需要的数字知识分为3类。第一类是是初等数学知识如代数方程求解和几何、三角计算，这类知识的应用过程不需要出现在题解中。只要给出需要的结果，而且应用标准也与数学课程要求不同。例如各种角度的三角函数值可以直接用计算器而不必用利于三角和差倍半公式从特殊角度的三角函数值计算，有些几何尺寸可以直接用从图上量得再按比例换算而未必一定要严格的几何或三角计算。第二类是高等数学的基础知识如求导数和积分的运算，题解中也不需要列出详细过程，但也可以简单提及若干关键难点的处理；例如，运动学中点的运动部分，有时用隐函数的求导法比用显函数的求导法大为简便。第三类是学生一般不太熟练而理论力学课程中也要适当讲解的数学知识，主要是微分方程的求解，这类知识应用过程的要点应该在解题中出现。
通过这些要求，我们试图使学生在解题过程中关注问题的力学实质，同时也理解数学的工具作用又不喧宾夺主。
5 结束语
本文分析学生在理论力学解题中出现的问题，并提出相应的教学对策。这里所讨论的问题与学生对具体的理论力学知识掌握无关，而是由于过去在数学和物理等基础课课中形成的习惯和思维问题方式。通过解题的教学，不仅提高学生的解题能力，也使学生对理论力学课程特点有更深入的理解和认识。
参考文献
[1] 陈立群，戈新生，徐凯宇，薛纭. 理论力学. 北京：清华大学出版社，2006
发表于：力学课程报告论坛(2008年11月14-16日, 南京)论文集2008(高等教育出版社, 2009): 187-189
https://blog.sciencenet.cn/blog-220220-362442.html
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