振动力学中的跳跃是指周期激励的稳态周期响应的振幅或响应与激励的相位差随着激励频率或幅值的变化发生非连续变化的现象。

跳跃现象是G. 达芬(Duffing) 在1918年发现。他用谐波平衡法揭示含立方非线性项单自由度系统在简谐激励下的稳态响应幅值随激励频率突然改变，并进行了实验验证。研究和应用较多的跳跃是简谐激励作用下稳态周期响应的幅值随激励频率的突然变化。

图1所示是简谐外激励作用下阻尼单自由度非线性振动系统的幅频特性曲线。在激励频率介于ω₁和ω₂之间时，同一激励频率对应于受迫振动稳态响应振幅的3个不同值。改变激励频率的扫频实验表明，当激励频率从零开始缓慢地增大时，受迫振动振幅从图中的A点处出发，沿幅频特性曲线经过F点，连续变化至B点处。再增大频率，则发生跳跃，振幅从B点突降至C点。频率继续增大，则振幅从C点沿曲线的下半分支向D点方向移动。若激励频率从较大值开始缓慢地减小时，受迫振动振幅从D点开始沿曲线的下半分支连续变化至E点，再减小频率，则发生跳跃，振幅从E点突跃至F点，频率继续减小，则振幅从F点沿曲线的上半分支向A点方向移动。若建立振动系统的数学模型，数值仿真也能揭示跳跃现象。频率增加或减少时数值求解系统动力学方程，初值取为变化前频率作用下的响应幅值。跳跃现象伴随着幅频响应曲线的多值性。进行稳定性分析表明，在图中ω₁和ω₂之间频率对应3个不同的响应幅值中，上面和下面的幅值(即曲线F到B段和C到E段)为稳定，中间的幅值(即B到E段)不稳定。稳定的稳态周期响应能够在实验中出现，也能用近似解析方法预测和数值方法计算，不稳定的稳态周期响应只能用解析方法预测。

图1 简谐外激励作用下自由度立方非线性振子幅频响应曲线

上述幅值在激励频率增加或减少时有突然变化是跳跃的基本形式。在系统的非线性项更为复杂或多自由度系统有多重共振关系时，跳跃现象有更复杂的形式。例如，在简谐外激励作用下，2自由度平方非线性振子在接近2:1内共振(即线性派生系统第二阶固有频率接近第一阶固有频率两倍)时，幅频响应曲线如图2所示。纵坐标是两个自由度上响应的幅值，横坐标是外激励频率与线性派生系统第一阶固有频率的差；稳定的稳态周期响应幅值用实线表示，不稳定的用虚线；带箭头的点划线表示激励频率增加或减小。在外激励频率小于线性派生系统第一阶固有频率时，随着频率增加向上突跃，随着频率减少向下突跃；在外激励频率大于线性派生系统第一阶固有频率时，随着频率增加向下突跃，随着频率减少向上突跃。在没有发生跳跃现象的幅频曲线单值区域，也有不稳定部分。此时系统稳态运动不是周期运动，而是准周期运动或混沌运动。

图2 简谐外激励作用下2自由度平方非线性振子接近2:1内共振时幅频响应曲线

跳跃是非线性系统所特有的动态分岔，也是非线性系统中较为广泛存在的现象。跳跃现象不仅在周期外激励作用下出现，在周期参数激励下也可能出现。跳跃现象出现的条件包括激励频率接近某些特殊值、阻尼较小和激励幅值较大。

扩展阅读

刘延柱. 趣味振动力学, 高等教育出版社, 2012.

《中国大百科全书(第3版网络版)》“跳跃”

力学百科条目：小引

非线性动力学(特长条)

混沌(长条)

初值敏感性 (短条)

范德波尔方程(中条)

自激振动(中条)