混沌是确定性系统状态变量的一种特殊的时间变化模式，即初始条件的微小扰动将导致该状态变量后续变化的巨大差异，尽管其值域有限，但不具有周期性和准周期性，而且其变化没有规律貌似随机过程，因此这类变量长时间的值无法预测。系统状态变量为位置时，混沌就称为混沌运动。为突出混沌在有限范围内循环往复的特点，混沌有时也可称为混沌振动。

混沌的英文、拉丁文、德文和法文均为chaos，来自希腊文caos。最早出自赫西奥德《神谱》，“先有卡奥斯（混沌）”。中文“混沌”出自《白虎通·天地》，“始起之天，始起先有太初，后有太始，形兆既成，名曰太素。混沌相连，视之不见，听之不闻，然后剖判清浊。”混沌亦称浑沌，出自《庄子·应帝王》，“南海之帝为倏 ，北海之帝为忽，中央之帝为浑沌。”

历史沿革  混沌概念的形成有其历史演化过程。初值敏感的思想源远流长。早在公元前3世纪，古希腊亚里士多德在《论天》中指出：“对于真理的违背最初虽只差之毫厘，后来却会失之千里……在起点中微不足道的东西在终点中就会变得举足轻重。” 成书于公元前1世纪的《礼记·经解》中也有“差若毫厘，谬以千里”的说法。

混沌作为现代非线性动力学的概念肇始于19世纪末H.庞加莱对三体问题的研究，他发现伴随横截同宿点将出现复杂的动力学行为。他还在《科学与方法》一书中通俗地说明了在决定论的世界中由于初值敏感性伴随而出现不可预测的偶然性。1963年，S.斯梅尔构造一种有任意周期点和非周期点共存的结构稳定的可逆光滑映射，被称为斯梅尔马蹄。1963年，E.N.洛伦茨在基于大气热对流的简化数学模型说明确定性系统存在不可预测性，他所用的简化数学模型被称为洛伦茨方程。1971年，上田腕亮等想寻找一种特殊的达芬方程(后来被称为上田振子)的谐波解时发现一种混乱、貌似随机的定常解。1975年，李天岩和J.A.约克给出一维映射混沌的数学定义，突出了周期点与非周期点共存的特性。1976年，M.埃侬在研究一个二维映射(后来被称为埃农映射)时，发现混沌伴随着奇怪吸引子，即具有分形结构的吸引子。1978年，M.J.费根鲍姆发现单峰映射倍周期分岔进入混沌的过程中存在着普适常数，与映射的具体形式无关，这些常数被称为费根鲍姆常数。这些研究成果形成了现代非线性动力学中的混沌概念，丰富了人们对混沌概念的科学内涵的理解。

混沌的特性  为说明非线性系统初始条件的巨大影响，以虫口模型为例：

x_n+1= λx_n (1+ x_n)

其中λ=4，n=0,1,2, …。给定一个初始值x₀，就可以计算后续的x₁, x₂, …,x_k, …。选择第一个初始点为x₀=0.1，另一个初始点与0.1相差亿分之一(绝对差别，相对差别是0.1的千万分之一)，即x₀=0.100,000,01。对这两个个有微小差别的初始值，保留了10位有效数字的前52次的部分结果如表所示。

虫口模型中不同初值的迭代结果

从表中列出的计算结果看，最前面几步迭代后初值的微小差别仅导致结果的很小差别。第3步迭代后，亿分之一的初始差别导致结果差别在千万分之一量级上。到第10步时，迭代的差别已经分别变为十万分之一量级。这个差别不算很大，但只经过10次迭代已经使初始误差放大了约100倍。迭代继续进行，到第50步时，误差已经在十分之一量级，与迭代值在同一量级。此时及其随后的迭代中，从两个初值迭代的结果变得似乎不相关，完全看不出初始差别只是亿分之一。这个计算结果展现了混沌的基本特征¾初值敏感性，即初始值的微小差别经过一定时间后可导致系统动力学行为的显著差别。这种初值敏感性也被形象地称为蝴蝶效应，一只蝴蝶在巴西拍动翅膀可导致美国得克萨斯出现龙卷风。蝴蝶效应生动地表明，系统受到十分微小的扰动，由于初值敏感性使得这种扰动不断放大，对系统较长时间后的状态会造成极其巨大的影响。

从表中的数据还可以看出，迭代的结果从不重复，这意味着混沌不具有周期性。周期性是指系统的动力学行为间隔一段时间后的重复出现现象。非周期性就意味着系统的动力学行为不再重复。非周期性有两种极端的情形，一种是运动幅度越来越大，这样当然不会重复；另一种是运动停止，也就不能重复了。混沌的非周期性不同于这两种情形，是一种有界的非周期性，或称往复的非周期性。虫口模型的计算过程中，始终没有进入任何循环，同时也没有停止不动或趋于无限大，因此呈现了往复非周期性。

混沌这种往复非周期性导致迭代结果的变化看上去似乎无任何规律可循。这就不像是确定性系统的动力学行为，而完全类似于随机噪声。值得注意的是，这种类似随机的过程产生于完全确定性的系统。因此，称混沌具有内禀随机性，也称作自发随机性。

混沌的初值敏感性导致了混沌的另一特征，长期预测的不可能性。现实中的任何量都只能具有有限精度，无穷高精度在物理世界中并不存在。因而初值中存在不确定因素。例如，上述虫口模型初值的确定，纵使有效数字取100位，计算机处理时，第101位还是随机地取0~9中的一个。具有初态敏感性的混沌系统对于初值差别的作用不断进行放大。随着时间流逝，初始条件中的不确定因素起着愈来愈大的作用。一段时间之后，决定变量的已不是初始条件中以有限精度给定的部分，而是在精度范围之外无法确定而又必然存在的误差，这样运动的预测便不可能了。例如，如果虫口模型中初值误差是亿分之一，到第50次迭代后，起作用的是十亿分之一或者更后面的位数。可预测的时间长度取决于初始条件的精度，这又有别于完全不可预测的真正随机过程。

研究概况  基于混沌概念的定性描述还可以相应地引入定量指标进行数值识别。初始误差的增长导致长期动力学行为的变化，可以用李雅普诺夫指数描述，定量刻画了初值敏感性。耗散系统中，有界非周期性导致吸引子具有分形结构，可以定义关联维数等分形维数来定量刻画。不确定性的增加而导致不可长期预测，可以用测度熵等动力学熵定量刻画。类似于随机过程就可以用相关函数和功率谱密度等随机响应分析的工具进行定量刻画。

随着对混沌研究的广泛，前述混沌概念又有进一步的拓宽。混沌不再局限于时间变化模式，有了时空混沌的概念。混沌不局限于确定性系统，有了随机混沌的概念。系统在最终进入不动点或周期变化之前，可能有具有初值敏感性的往复非周期运动，因此有了暂态混沌概念。

深入认识混沌的一个关键问题是混沌出现条件的预测，即对于给定系统在运动开始之前便确定在其参数或初值满足何种条件运动将呈现混沌性态。预测混沌出现条件的方法可以分为三类。第一类是经验预测，对于某种具体的非线性动态系统，根据大量实验室实验或数值实验资料，归纳出混沌出现时系统参数所满足的条件。第二类是理论预测，对于某种类型的非线性动态系统，基于对混沌出现机制的理论分析，建立混沌出现时系统参数所满足的条件。第三类是经验-理论混合预测，即采用实验和理论分析方法确定混沌出现的机制，用理论方法建立混沌出现时系统参数所满足的条件，其中的某些系数由实验给出。三类方法中，经验预测的结果比较准确，但所需费用和时间较多，结果的适用范围较窄；理论预测的结果适用范围较宽，但有时不够准确；经验-理论混合预测介于两者之间。由于混沌运动的复杂性而难以进行严格数学描述，混沌出现条件的解析预测迄今尚未完全解决，许多问题都有待深入研究。

混沌概念的应用也引起人们重视。混沌应用的一个重要方向是数据的非线性动力学建模。利用研究混沌中发展的相空间重构技术，结合识别混沌的分形维数、李雅普诺夫指数等数值特征，不仅可以识别非周期数据中的混沌行为，而且可以对数据建立数据的动力学模型，在此基础上进行数据的减噪和短期预测。混沌应用的另一个重要方向是混沌的控制和同步化。通常需要借助混沌的特性，主动地驾驭混沌运动，使之成为事先指定的周期性运动或者其它混沌运动。

混沌概念的提出和拓宽，以及相应对混沌进行数值识别、解析预测、控制和同步化等方面的发展，使得非线性动力学成为力学中的一个蓬勃发展的新兴学科。不仅对力学、物理、系统科学和数学的各个分支有重大促进，而且也为化学、生物学、生态学、经济学等学科提供一种分析问题的全新思路。随着非线性动力学研究的深入，其工程应用也日益受到重视。混沌概念甚至对人类认识自然界的一些基本概念如因果性、决定论、随机性等也有深刻启示。

扩展阅读

R. Abraham, Y. Ueda (eds.). The Chaos Avant-Garde: Memories of Early Days of Chaos Theory.Singapore: World Scientific, 2000.

《中国大百科全书(第3版网络版)》“混沌”

力学百科条目：小引

非线性动力学(特长条)