狭义相对论中存在不确定关系吗？

一、 Heisenberg与Einstein之争

W. Heisenberg曾以一个思想实验对量子力学中的不确定关系（或称测不准关系）作了具体表述[1]：

假设以显微镜观测一个电子的坐标x，因显微镜的分辨本领受波长限制，且光波长越短，分辨本领越高，故测定电子坐标的不确定度Δx~λ。另一方面，光照射到电子上，即为光量子与电子的碰撞，波长越短，光量子动量越大，所以ΔP~λ^-1，经分析得Δx·ΔP~h。

目前的基于Copenhagen诠释（Heisenberg是Copenhagen学派的顶梁柱之一）主流量子力学将其视为量子世界的基本规律，是为不确定原理。但长期以来，物理学界对不确定关系存在着两个方面的质疑：

（1） 物理真实性质疑：以A. Einstein为代表的部分物理学家对不确定关系进行了激烈地批评，坚决否认其具有物理意义上的真实性，进而上升到了对量子力学Copenhagen诠释的猛烈抨击。

（2） 逻辑独立性质疑：包括Copenhagen学派的领袖N. Bohr在内的多数物理学家认为不确定关系是量子力学基本公设或公理的产物，不具有基本原理的地位。比如，Bohr坚持认为不确定关系应是自己的互补原理与波粒二象性公设推导而出的一个重要定理。

值得注意的是，文献[2]中提到：Heisenberg在反诘Einstein对不确定关系的责难时，提出了一个十分有意思的观点——高举“实在性”大旗的Einstein在其狭义相对论中亦不自觉地引入了“不确定性”。

在Heisenberg看来：在狭义相对论中，我们对某一物理量的测量值实际上取决于惯性系之间的相对运动，而I. Newton先验假定的“绝对时空”不可测量（实际上没有物理意义）导致我们无法得到某一物理量的“真实值”，故狭义相对论也不可避免地预示我们对物理量的考察存在着不可逾越的限制，这与不确定关系的思想是相通的。

无独有偶，文献[3]在介绍狭义相对论的“尺缩钟慢”效应时亦特别提到：

所谓动尺缩短是空间间隔和同时性的相对性带来的后果，不应误解为尺子在运动过程中发生了物理的收缩。

这进一步强调了狭义相对论效应依托于观察者的测量，与物理量的“真实”变化无关。换而言之Einstein理论中无处不在的“相对性”实质上与Heisenberg的“不确定性”异曲同工。

这种观点是笃信“上帝不会执骰子”的Einstein绝对不会接受的，但其无疑反映出一个事实：看似不相容的相对论与量子力学之间仍存在着微妙的联系。

按上述思路，我们可以尝试从狭义相对论出发结合量子力学的基本假设（波粒二象性）构造一个不确定关系。

二、 Lorentz变换与不确定关系的形式构造

狭义相对论体现的时空相对性来源于惯性系之间的Lorentz变换，该变换的线性特征实际上反映了时空的内禀对偶性。本文将从Lorentz变换出发在形式上构造量子力学中的不确定关系。

设静止参考系S(x,t)，运动参考系S'(x',t')相对S沿x方向作速率为v的惯性运动。静止在S中的观察者测得S'一段运动过程的时间间隔为τ=Δt，而S'的固有时间间隔τ'=Δt'；对静止在S'中的物体，静止在S中的观察者测得其沿x方向的长度为l=Δx，其固有长度为l'=Δx'。则根据Lorentz变换，有如下关系：

τ=γτ' , l=γ^-1l'

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}}$ 为Lorentz因子，当v不变时，γ为一常量。

令 $%uFF08{\tau }'%uFF0C\tau %uFF09\in T$ $({\tau }',\tau )\in T$ 、 $({l}',l)\in V$ ，显然T、V均为非空集合。定义映射φ：

$T\mapsto \mathbb{R}^{2},\varphi ({\tau }',\tau )=({\tau }',\tau )$ ，

显然有： $\varphi (a\lambda _{1}+b\lambda _{2})=a\varphi (\lambda _{1})+b\varphi (\lambda _{2}); \lambda_{1},\lambda _{2}\in T;a,b\in\mathbb{R}$        

故，φ为T到 $\mathbb{R}^{2}$ 的一个线性同构映射，即T同构于 $\mathbb{R}^{2}$ 。同理，可以证明V同构于 $\mathbb{R}^{2}$ 。

    又因为 $\mathbb{R}^{n}$ 上的线性函数：

$\varphi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}) =\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}$ ，且 $(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\in \mathbb{R}^{n},a_{i}\in \mathbb{R}$      

故 $\mathbb{R}^{n}$ 与 $\mathbb{R}^{n}$ 为一组对偶空间。因T与V均同构于 $\mathbb{R}^{n}$ ，所以T与V为一组对偶空间。这是数学中的显然结论。

这个当然的数学结论在物理学中的意义在于揭示了，以Lorentz变换为代表的线性时空变换实际上是反映了时间与空间内禀的对偶性质。这种对偶性表明[4]：

时间和距离（空间——引者注）实质上是相同的，它们之间可以单值地相互变换……动力学方程把时间和距离相互变换后，才能保持形式的不变。

空间T与V的对偶，表明Δt与Δx可以单值地相互变换。在物理学中，当 $v\ll c$ 时，Lorentz变换退化为Galileo变换，容易证明T与V的对偶性不受影响。

对空间中的一个自由粒子，设动量为P，能量为E，作用量为S，广义坐标为q，时间为t，根据定义有：

$P=\frac{\partial S}{\partial q},E=\frac{\partial S}{\partial t}$

根据T与V的对偶性，易知：

$\frac{\partial^2 S}{\partial t\partial q }=\frac{\partial^2 S}{\partial q\partial t}$

对上式做等价变换得：

$\frac{\partial }{\partial t}(\frac{\partial S}{\partial q})=\frac{\partial }{\partial q}(\frac{\partial S}{\partial t})\Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} q}$

整理得 $dP\cdot dq=dE\cdot dt$ 。

为了得到不确定关系的量级，在非相对论情况下（引入基本量子假设）做量纲分析，有：

$dE=\frac{dP^{2}}{2m}=\frac{PdP}{m},dt=\frac{mdq}{P}$

两式相乘得 $dP\cdot dq=dE\cdot dt$ 。代入de Broglie公式 $P=\frac{h}{\lambda }$ ，h、λ分别为粒子的de Broglie波长和Planck常量，则有：

$dt\cdot dE=dq\cdot dP=dq\cdot hd\lambda ^{-1}=-\frac{dqd\lambda }{\lambda ^{2}}\cdot h$

根据量纲分析，可知dq·dP=dt·dE~h，即从形式上构造的不确定关系。 

综上，对偶性对应的物理意义正是共轭变量之间普遍存在的不确定关系。

参考文献：

[1] W. Heisenberg．Z.phys．43(1927) ．171．

[2] 金尚年．量子力学的物理基础和哲学背景．上海：复旦大学出版社，2007．

[3] 胡友秋、程福臻．电磁学与电动力学．下册．北京：科学出版社，2008．

[4] 武际可．时间与距离的对偶．www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=215538．