说明：因杨六省老师之邀，将其《对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑》一文转载于下，敬请数学行家进行评议，也可以直接与杨六省老师联系进行讨论。

对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑

杨六省

yangls728@163.com

    笔者于2017-1-1在“数学中国论坛”上发过一个帖子，题目叫“质疑第一次数学危机的真相”。摘要中写道——“在推理前提——√2 =α：β（α，β互质）中，写入 ‘α，β互质’是不合理的，因为不相关，尤其是，它使得√2不是有理数的证明变为不可能。”这个观点此后没有变化，但在说理方面，笔者反复修订。现在，笔者终于能够做到应用反证法的定义来解释上述摘要中的观点了，真可谓“真传一句话（指反论题与原论题必须是矛盾判断关系，笔者加），假传万卷书（指“毕达哥拉斯学派证明了√2不是有理数”这一虚假的史实，为所有的数学书所认同，笔者加）”。

（1）把√2=p/q（p，q互质）设定为原论题“√2不是有理数”的反论题，是违反反证法基本要求的

    关于反证法，一个基本的要求是——“只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题”（摘引自由“‘科普中国’科学百科词条编写与应用工作项目”审核的“反证法”词条）。金岳霖主编的《形式逻辑》一书中也有类似的表述：“只有论题的矛盾判断才能作为矛盾论题。” 矛盾判断关系务必满足：原论题真则反论题假；反论题假则原论题真

    “√2不是有理数”是原论题，其表达式√2=p/q（p和q不全是整数）；反论题是“√2是有理数”，其表达式应该是√2=p/q（p和q全是整数）。但是，人教版数学七年级下册第58页（以下简称人教书）是把√2=p/q（p，q互质）设定为原论题“√2不是有理数”的反论题。为了区别起见，我们把表达式√2=p/q（p，q互质）所代表的论题记作“反论题（新）”。下面我们将揭示，反论题（新）√2=p/q（p，q互质）与原论题√2=p/q（p和q不全是整数）并不构成矛盾判断关系。

     “原论题真”是指，对于“√2=p/q”而言，“p和q不全是整数”成立。这时，谈论“p，q互质”的真假是没有意义的。也许有人会说，不妨把p，q互质没有意义“理解为假”。但问题是，在所有数学文献中，“互质”和“非互质”概念都是针对两个整数而定义的，我们不可以违反同一律，在同一个论证过程中，对“p，q互质为假”这一说法赋予相互矛盾的含义。因此，上述那个“理解为假”的主意是行不通的。于是，如果“原论题真则反论题（新）假”成立，则前件要求认可“p和q不全是整数”，后件则相反，矛盾，故“原论题真则反论题（新）假”不成立。

    同理，“反论题（新）假则原论题真”也不成立。

    上述分析说明，人教书（注：当然也包括其他文献）把√2=p/q（p，q互质）设定为原论题“√2不是有理数”的反论题，是违反反证法基本要求的，这样的做法是不被允许的，其证明自然不会是有效的。

（2）即使反论题的设定是正确的，但如果推理过程有错，那么，就无法保证推出的矛盾能够否定反论题，也就无法确立原论题为真

    “√2不是有理数”是原论题，其表达式是√2=p/q（p和q不全是整数）。如果人们把√2=p/q（p和q全是整数）认作是反论题“√2是有理数”的表达式，这是正确的做法。但是，如果由√2=p/q（p和q全是整数）又推出了√2=p/q（p，q互质）和p，q都是偶数，这就走入歧途了。

    当人们由√2=p/q（p和q全是整数）推出√2=p/q（p，q互质），很明显，是把p/q从√2=p/q中割裂开来，然后加上“p和q全是整数”这一条件进行推理的。如果这样做是合理的，那么，结论“p和q都是偶数”同样也应该由p/q和“p和q全是整数”这一条件推出，但这显然是不可能的！事实上，由人教书可知，“p和q都是偶数”之结论是根据√2=p/q（p和q全是整数）进行推理的。下面我们将揭示，由√2=p/q（p和q全是整数）既推不出√2=p/q（p，q互质），也推不出p和q都是偶数，理由如下：

    ①在“√2=p/q（p和q全是整数）”中，等式的左边是无理数√2，右边是一个分数表达式，所以，“√2=p/q（p和q全是整数）”是一个矛盾式。希尔伯特说，“如果一个概念具有矛盾的属性，那我就认为这概念在数学上不存在。”因此，表达式“√2=p/q（p和q全是整数）”不具有存在性。现今的人们都知道，√2具有客观存在性，再加上它又是我们所讨论的对象，所以，我们无疑的会认可√2在“√2=p/q（p和q全是整数）”中的存在性。这样说来，“√2=p/q（p和q全是整数）”之所以不存在，只是由于等式的右端不存在。试问，对于一个不具有存在性的东西，何以能够谈论分数的化简呢？还可以换一种说法，现今的人们都知道，对于“√2=p/q”而言，其中的p和q不可能全是整数，在这种情况下，谈论分数的化简有意义吗？因此，依据上述理由，由√2=p/q（p和q全是整数）是推不出√2=p/q（p，q互质）的（注：下文中“笔者的证明”与毕达哥拉斯学派的证明没有关系，所以，我们可以应用“√2不是有理数”这一结论进行论证）。

    ②由下文“笔者的证明”可知，由√2=p/q（p和q全是整数）是推不出p和q都是偶数的。

    下面我们将揭示，由p和q都是偶数与假设p，q互质矛盾，并不像人教书所说的，可以说明√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数。理由是：由p和q都是偶数只能否定“√2=p/q（p，q互质）”，而不能否定“√2=p/q（p和q全是整数）”，因为p和q都是偶数与“√2=p/q（p和q全是整数）”中的“p和q全是整数”并不矛盾；而由对“√2=p/q（p，q互质）”的否定，只能确立“√2=p/q（p，q非互质）”（——从而可以推出p和q全是整数，因为“非互质”概念是针对两个整数而定义的），而不能确立“√2=p/q（p和q不全是整数）”，因为只有“√2=p/q（p，q非互质）”与“√2=p/q（p，q互质）”才是矛盾判断关系，而“√2=p/q（p和q不全是整数）”与“√2=p/q（p，q互质）”，如上文所述，并不构成矛盾判断关系。因此，由对“√2=p/q（p，q互质）”的否定（注：姑且不论推理是否有效），并不能否定反论题“√2=p/q（p和q全是整数），并不能确立“√2=p/q（p和q不全是整数）”为真，即并不能说明“√2不是有理数”。

附1：人教版数学七年级下册第58页中的证明：

    假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得

                                    √2=p/q，

于是                                 p=√2q.

两边平方得                           p²=2q².

    由2q²是偶数，可得p²是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.

    因此可设p=2s，代入上式，得4s²=2q²，即

                                     q²=2s².

    所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾.

    这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数.

附2：笔者的证明

命题：对于√2= p/q ，其中的p和q不可能全是整数。

证明：我们总可以把√2= p/q写成p²=2q²（q是整数）的形式。

① p不可能是偶数

假设p是偶数，设p=2r（r是整数）,代入p²=2q²,得q² =2r² 。如果p²=2q²（q是整数）中的p是偶数，那么，q² =2r²（r是整数）中的q也是偶数；……这样下去，就会推出p和q均含有无穷多个因数2（注：例如，关于p，开始假设p=2r；后面还会假设r=2t；……），从而说明p和q均不是整数，但这与先后假设的q是整数和p是偶数相矛盾，故对于p²=2q²（q是整数）而言，p不可能是偶数。

② p不可能是奇数

理由是，奇数的平方不可能是偶数。

综上所述，对于p²=2q²（q是整数）而言，p不可能是整数，换一种说法，对于√2= p/q 而言，其中的p和q不可能全是整数。

说明：上述证明见拙著《悖论是什么——70个悖论的消解》，汉斯出版社，2020.6.