北京明天下不下雨无须用赵森烽-克勤概率来作解释

美国归侨冯向军博士，2017年月28日写于美丽家乡

【1】一文借北京明天下不下雨这个日常生活问题来说明引入所谓的联系概率（赵森烽-克勤概率）的必要性，好象国际主流科学界所公认的柯尔莫哥洛夫概率以及基于柯尔莫哥洛夫概率的大量国际主流科学界所公认的科学研究成果连北京明天下不下雨这样的日常生活问题都不能解释似的。本文提出北京明天下不下雨无须用所谓联系概率（赵森烽-克勤概率）来解释，并在柯尔莫哥洛夫概率科学体系下作出了符合因果论的详细解释。【2】文中，我指出所谓联系概率（赵森烽-克勤概率），其本质特性不符合国际主流科学界所公认的柯尔莫哥洛夫概率对概率的非负性要求，因而不是柯尔莫哥洛夫概率，从而也就自绝于为国际主流科学界所公认的基于柯尔莫哥洛夫概率的大量科学研究成果，比如香侬-詹尼斯信息熵，Tsallis 广义熵，最大熵原理，在巨大样本量下符合热力学第二定律的最大玻尔兹曼熵原理及其等价型式：最大詹尼斯信息熵原理，等等等等。【1】文的完整相关原文如下：“问：明天北京下雨的可能性是多少，回答是0.7，意思就是有70%的可能性下雨，这样的理解有错吗？没有错。但有人会问：这个0.7从哪里来？频率学派会回答：从频率来，因为最近10年这个时候有7年下雨，或者回答最近100年有70年在这个时候下雨，或者回答最近1000年有700年在这个时候下雨，再往前，可能没有气象记录可查； 气象专家会回答这个0.7是根据天气降水预报模型算出来，模型中计及了会直接影响到下雨与否的气温、气压、气流、湿度、等等因素； 普通市民会根据听到的天气预报和自身感受和经验作出明天七成下雨的可能，如果外出得备上雨具。显然，前两种情况的0.7来得比较客观，称为客观概率；后一个07来自主观，称为主观概率；历史上，英国数学家贝叶斯最先系统地研究了这种主观概率，所以也把主观概率称为贝叶斯概率；从这个例子看出，同一个概率，可能是一个客观概率，也可能是一个贝叶斯概率，或者两者兼而有之；但其不足之处，在于没有为0.7的补数0.3提供可以利用的信息，因此，一个重要的问题是：0.7的补数0.3中具有什么信息？

不妨认为0.3是不下雨的可能，也可以认为蕴含着下雨的可能。因为，有可能第二天下了雨，这时下雨的可能就由0.7变成1，0.7如何变成1？不能开数学玩笑.”

我以为：“下雨的可能就由0.7变成1，0.7如何变成1？”这不是数学玩笑，而是因果，有从0.7变成1的原因，才有从0.7变成1的结果。不从因果论来看这个问题而非要提出所谓的联系概率（赵森烽-克勤概率），虽然可能不是数学玩笑，但却是数学游戏。基于因果论的根本理念，我把“北京明天下不下雨”这个日常生活问题转化为如下柯尔莫哥洛夫概率体系下的科学问题：

 问：假设北京明天下雨的主观概率或是贝叶斯概率是0.7，（1）万一明天实际不下雨（实际下雨的概率变成了0），如何解释？（2）明天实际下雨（实际下雨的概率变成了1），又如何解释？

答：天下之事莫非因果。有明天实际不下雨的因就有明天实际不下雨的果。反之亦然，有明天实际下雨的因就有明天实际下雨的果。根据国际主流科学界所公认的基于柯尔莫哥洛夫概率的最大詹尼斯信息熵原理，如果无任何非自然约束条件，我们一定可以得出结论：明天实际不下雨的概率 = 明天实际下雨的概率 = 0.5 = 50%。由此可见明天实际不下雨或明天实际下雨，都是由某种非自然约束条件或原因造成的。这种非自然约束条件或原因可统一表达为：

p1 = 0.7  + r * 0.3，r = 1 或 r = -7/3。

这其中，p1为明天实际下雨的概率，0.7为明天下雨的主观概率或贝叶斯概率。离开此非自然约束条件或原因，明天下雨或不下雨实际上都是不可能发生的。下面就来证明在p1 = 0.7  + r * 0.3，r = 1 或 r = -7/3这个非自然约束条件下，北京明天要么下雨（对应r = 1),要么不下雨（对应r = -7/3),绝无别的可能。

令：

psk1 = p1 = 北京明天实际下雨的概率。

psk2 = 1 - p1 = 北京明天实际不下雨的概率。

则有：psk1，psk2构成柯尔莫哥洛夫概率分布。下面我们就来看在psk1 = 0.7  + r * 0.3，r = 1 或 r = -7/3这个非自然约束条件下，柯尔莫哥洛夫概率分布必然成为什么样子。

引理1：当 x->0,xlog(x)->0，这其中log为以e为底的对数。

 证明：当 x->0，按罗必塔法则，xlog(x) 的极限 = （log(x)'/(1/x)')的极限 = -x的极限 = 0。

 引理2：对于概率分布p₁ = 1，p₂ = 0，或 p₁ = 0，p₂ = 1，詹尼斯信息熵

E = -p₁log(p₁) - p₂log(p₂)取最小值零。

 证明 E(p₁) = -p₁log(p₁) - (1-p₁)log(1-p₁)

 dE/dp₁ = -log(p₁)-1 +log(1-p₁)+1

 当1-p₁ > p₁ 或 p₁ < 0.5时，dE/dp₁ > 0, E随p₁单调递增。所以当p₁->0,E取p₁在【0，0.5】区间时的最小值。

 当1-p₁ < p₁ 或 p₁ > 0.5时，dE/dp₁ < 0, E随p₁单调递减。所以当p₁->1,E取p₁在【0.5，1】区间时的最小值。  

按引理1，对于概率分布p₁ = 1，p₂ = 0，或 p₁ = 0，p₂ = 1，詹尼斯信息熵

E = -p₁log(p₁) - p₂log(p₂)取零值。此零既是p₁在【0，0.5】区间时E的最小值又是p₁在【0.5，1】区间时E的最小值。

 综上所述，对于概率分布p₁ = 1，p₂ = 0，或 p₁ = 0，p₂ = 1，詹尼斯信息熵

E = -p₁log(p₁) - p₂log(p₂)取最小值零。

 证毕。  

 按引理2，在psk1 = 0.7  + r * 0.3，r = 1 或 r = -7/3这个非自然约束条件下，因为psk1要么等于1（当r = 1），要么等于0（当r = -7/3），所以詹尼斯信息熵 psk1log(psk1) - psk2log(psk2)只能取唯一的零值。因为詹尼斯信息熵只能取唯一的零值，最大值也是零，最小值也是零，不小不大还是零。所以可以认为此时的psk1，psk2这个柯尔莫哥洛夫概率分布就是在psk1 = 0.7  + r * 0.3，r = 1 或 r = -7/3这个非自然约束条件下，令詹尼斯信息熵最大的分布。按詹尼斯信息熵最大原理，必然有psk1，psk2成为这个令詹尼斯信息熵成为约束条件下最大或极大的分布：

psk1 = 0.7  + r * 0.3，r = 1 或 r = -7/3，

psk2 = 1 - psk1。

要么psk1 = p1 = 1(当r = 1时），要么psk1 = p1 = 0(当r = -7/3时）。

这也就是说在psk1 = 0.7  + r * 0.3，r = 1 或 r = -7/3这个非自然约束条件下，北京明天要么实实在在下雨（p1 = 1)，要么实实在在不下雨(p1 = 0) ，十分决定或确定。

参考文献

【1】赵克勤，北京明天下雨的贝叶斯概率向联系概率（赵森烽-克勤概率）的转换，科学网，2017年5月19日 。http://blog.sciencenet.cn/blog-329317-1055866.html

【2】冯向军，冯向军n元生克离散联系数组与赵克勤连续型区间联系数的详细对比，科学网，2017年6月25日。http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1062823.html