10.7 系统与系统的乘积

  中国终于诞生了第一个诺贝尔科学家，不料随之而来的关于中医科学论的争论却不绝于耳。国人认为屠呦呦得奖是中医的成就，国外专家则声称青蒿素的提取与中医学无关。事实上，关于中医是否科学论的争执也不是一天两天了。反方最大的理由是，中医系统一直以《黄帝内经》等古籍为理论基础，哪怕数千年人类文明发展以后，中医的系统理论依然无法超越古人的认识论。从这点看中医似乎更像宗教，与不断前进推陈出新的科学精神相悖。

   相较而言，西医把人看作各器官零件的组合系统，微观精确考量各种指标。西医这种量化系统属于自然科学的架构。所以有人说中西医关键的区别是，中医的思维模式是语文式的，而西医的系统思维是数学化的，数学度量的系统分析显然更胜一筹。

   一般而言，系统分析大致可分为以下几个阶段：

  第一阶段：语文式概述，以模糊笼统文字表述。如道家的阴阳五行、儒家的中庸和谐、佛家的万法皆空。

   第二阶段：语言精确化、数量化，转换为线性空间。如《几何原本》、经典力学。数据度量化是对笼统文字表述的一个大跨越。哥德尔不完备性定理证明了自然语言（形式语言逻辑）对应于线性空间，同时也证明了线性空间的不完备性。关于形式语言逻辑不完备性，普通人最直接的感受是，我们总觉得有一些体验只可意会不可言传。自然语言无法表达所有的人类体验。    

   第三阶段：更加复杂的系宗，转化为张量。度量化是对笼统文字表述的一个大跨越，张量化则是对矢量系统的一个大跨越。如量子力学、相对论。一般人根本无法理解相对论和量子力学，究其根本因为人类习以为常的自然语言对应于线性空间的一阶逻辑系统，而相对论时空观和量子力学则是张量模型的，是高阶逻辑系统，并非线性空间矢量模型所能度量。 人类的学习思维，从单词到语句、到段落、到章节、到整遍文章、再到同类话题，大脑具备层次化轴象领会的能力。但是自然语言似乎无法确切刻画这种抽象理解力，因为自然语言对应形式逻辑的矢量，而不是张量。这是线性空间对于高阶张量空间的无奈。张量系统能实现更加复杂的量化抽象，超越了我们日常语言交流的一阶逻辑。

  西方自然科学的发展历史大约就是这样的脉络，古希腊《几何原本》奠定了量化系统的“基”，牛顿的《自然哲学的数学原理》以量化系统解释了万物之理，随后微积分扩充有限维线性空间到连续无限维，二十世纪的理论量子力学和相对论更把量化系统推升到无与伦比的新高度。

   网上有一段关于相对论的推理：“根据时空一体观念，物质在空间中的运动速度越快，则在时间中的分量就越小，所以此物质上的时间流逝得越慢。如果在空间中达到光速的话，则其时间分量为0，可以理解为每一缕光都还是宇宙诞生时的样子，因而对每一个光量子来说时间根本就没有移动过。”

   这种匪夷所思的推论对普通人而言很难理解，究其根本，因为人类习以为常的自然语言是对应于线性空间的一阶逻辑系统，而相对论时空观是张量模型，并不是线性空间的矢量模型。这是关键，所以关于相对论有人说人类有两个半人理解就不错了，关于量子力学波尔也说过类似的话：“所有不为之感到困惑的人都是没有真正理解它的”。

    相对论和量子力数学模型等级都一样，都是张量模型，是多层线性空间模型，是多重线性映射模型，并非普通线性空间。以线性空间解读相对论时空观，如同井底之蛙眼中的星空，当然怪诞。

   实际上，同为张量系统的量子力学和相对论有着深刻的内在关系。 比如，光量子既是量子力学的基础，也是相对论的基础。因为光的量子化，才有光电效应；因为光量子静质量0，才有质能方程。 又比如，量子力学中时域和频域表现出反比例关系；相对论的逆变和协变也是反比关系。 量子力学和相对论的内在关系，在向量线性空间中根本表达不出来，只有在“多重线性”的张量中才能体现。

   我们知道，《几何原本》和牛顿经典力学只是线性空间的量化系统。而量子力学和相对论的量化系统却是张量，属于多重线性空间。虽然乍看差不多，其实相差何止十万八千里。‘多重线性’和 ‘线性’的概念切勿混淆，‘线性’空间是牛顿那个年代的老古董，而‘多重线性’是量子力学、相对论、深度学习人工智能时代的新玩意。

  从字面上看，“多重线性”与“线性”的区别，显而易见在于‘多重’二字。 那么，多重线性空间和线性空间究竟有什么不同呢？这里的“多重”对于数理逻辑而言到底是什么含义呢？

  先看看张量的数学定义式：

(φ+ψ)(x) =φ(x)+ψ(x)

(aφ)(x)=aφ(x)

  上面两个式子，很容易化成下面的一个式子：

(φ+ψ)(ax+by) =aφ(x)+aψ(x)+bφ(y)+bψ(y)

  咦，如果把φ(x)、ψ(x)、φ(y)、ψ(y)各看成基矢量，这不就是一个向量空间吗？ 乍看起来很像，其实不然，因为张量空间中的 φ与x、ψ与x、φ与y、ψ与y之间的关系 还存在单一属性的向量所不具备的更深层次的复杂“多重”线性关系。比如，(ax+by)是一种范畴线性关系，而 (φ+ψ) 具备另一种范畴的线性关系。二者单独而言都是线性空间，所以二者相乘的张量空间满足两重线性关系。（这里，任意φ、ψ∈ V* ,  任意a、b∈F, 任意x、y∈V，V* 与V是对偶的两个不同线性空间。）

  形象而言，二阶张量是一个线性系统与另一个线性系统的乘积，所谓“两重”线性。

  再看看另一种张量的数学表达如下：

  如果把线性空间的基加入表达式中，可以看得更清晰些：

  上式为线性空间（a1g1+a2g2+a3g3)与线性空间(b1g1+b2g2+b3g3) 外积而出的‘张量积’空间，因为是两个线性空间的积，即一层线性重叠另一层线性，所以称作‘两重’线性结构。

  另请注意，上面张量空间的a和b可以是不同性质的物理量，比如当a表示动量、b表示流动时，这个张量T即动量流，表示i方向的动量沿着j方向的流动，这时动量是一个线性空间、流体运动是另外一个线性空间，因而动量流张量T是‘两重’线性结构。

   需要特别指出的是，‘两重’线性结构的动量流T是不能用矢量表达的。

   无论是内积还是外积，都是乘积，都是“且”的含义。比如，动量流T隐含的意思是i方向的动量 “且” j方向的流动。而“且”意味着“逻辑与”。作为张量的基乘积的“逻辑与”更深刻的反映了“多重线性”的意义，即基的多角度多层次多属性的度量。也就是说，线性空间的基矢量是单一属性的，多重线性空间的基却具备多属性特质。比如张量（Tgigj）的基同时有gi和gj两重属性，比如傅立叶变换的基exp(ipr)具备p和r两重属性。

   简而言之，所谓多重线性的“重”，对应于张量的“阶”，张量的阶对应于变换因子的“相乘矩阵个数”。由于一个矩阵代表了一个线性系统，高阶张量就是多个线性系统乘积的系宗。

   变换因子中有两个相乘矩阵，叫二阶张量；变换因子中有三个相乘矩阵，叫三阶张量；变换因子中有N个相乘矩阵，叫N阶张量。 简单理解，几个相乘矩阵就意味着几重线性。

   如果把函数看作连续无穷维矩阵，则相当于复合函数：

  特别的，对于线性时不变系统，通过卷积定律，可以将复杂的矩阵乘积转换为普通数量乘积。

  两重线性张量空间情况如下：

  以卷积矩阵表示，变换如下：

     多重线性的高阶张量空间情况以卷积矩阵表示,如下：

    多重线性空间变换如下：

   对复杂的系统而言，如果各个对象之间在微分几何学视角下，具备微分度量的多重线性关系。则，一阶逻辑下的非线性关系对象，可以在高阶逻辑中以多重线性关系表达。进一步，‘多重线性’的线性时不变系统将体现出异常简洁的规律质。所谓大道至简。

   既然张量如此先进，那么能否以张量设计一个完美的放之四海而皆准的数学模型，然后按步就班，在各个领域应用推行不就行了嘛。这种想法至少目前而言行不通，因为张量系统以广义函数为基础，而经典数学对于广义函数研究还非常滞后。如今的了张量理论基本都是物理学家的贡献，数学家对张量中的广义函数非常头疼。

   比如著名的脉冲函数（狄拉克δ函数），是量子力学大师狄拉克搞出来的，这个函数是量子物理的基础，但是数学家对于这个广义函数简直气不打一处来，因为从脉冲函数定义可以推导出“1/0 = ∞ ”，由于0和1在经典数学中是确定数、无穷大∞则不是什么确定的数，这在数学逻辑中是不能容忍的（两个确定数运算怎么能得到不确定的东东呢？）

   数学家在张量理论中还有一个无法逾越的障碍是关于函数内积，因为经典数学对于广义函数的内积是没有定义，造成张量对象的内在关系量化无法入手。比如经典数学对于脉冲函数δ的内积、复指数函数exp(ipr)的内积无法定义，所以希尔伯特空间的理论对张量分析无能为力。不过，即使缺乏严谨数学定义，脉冲函数δ和复指数函数exp(ipr)在量子力学、傅立叶分析、信息光学中都是作为基函数的，既然是基函数，它们当然有内积、也有正交性。

   在张量领域，相对论、量子力学、深度学习人工智能的专家们把数学家们远远抛到了后面。所以数学界非常尴尬，一个数学模型（张量），在很多领域应用都渠道了重大跨越，但是最基础的数学理论却跟不上。因为经典数学无法完善地定义广义函数、无法定义广义函数的内积、所以无法完备地考量张量系统。而以线性空间系统思维来考量更复杂的张量系宗思维，则会出现不确定性。

   一百年前，爱因斯坦以张量语言推出了广义相对论，虽然几乎没人真正理解相对论，但“张量”这个新颖的词汇从此荣耀登场。一百年来，几乎所有诺贝尔物理学奖都授予了量子力学相关领域科学家，无数次实验验证了量子力学的正确性，尽管如此，至今科学家对于量子力学依然知其然不知其所以然，因为量子力学也是难于理解的张量系统。如今，基于张量的深度学习人工智能系统正以超越人类的速度自我进化着，天知道未来会有怎样的颠覆。也许，不久的将来利用深度学习人工智能，解开量子力学和相对论统一场谜题的那一天不再遥远，那时必将为人类文明开辟更广阔的天地。

   山雨欲来风满楼，谷歌资深系统专家Jeff Dean在最近的湾区机器学习大会解密了谷歌未曾在论文上发表过的第二代深度学习系统TensorFlow （Tensor即张量，TensorFlow翻译为张量流），并开放了源代码。

    数学家未能驯服的这只怪异魔兽，摸着石头过河的深度学习人工智能，未来的能降伏吗？