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什么是群稳定性 精选

已有 12374 次阅读 2018-5-13 11:00 |系统分类:科研笔记| 科普

 

十几年前,考入清华大学自动化系,师从钟宜生师攻读博士学位,开始步入学术之门。

       当年,控制理论范畴的动态多智能体系统的分析控制方面,国际上直接相关的文献篇数统共也就两位数,是个崭新的研究方向。国内基本只有北大的王龙、楚天广老师和系统所的程代展、洪奕光老师等做出过一些成果。不过几个世界控制理论界的大师级人物,如美国的MoorseMurray,澳大利亚的Anderson,都很早就关注这一方向。

       一个动态多智能体系统,就我个人的理解,应符合这样的特征:

1. 个体自身具有一定意义,能够脱离群体而独立存在;

2. 个体具有对等的地位,即便是异质(Heterogeneous)系统,个体不完全相同,也应具备某种共性;

3. 个体之间通过网络联系,所获得的信息都是局部的,分散的。

       我注意到,群体趋同(Consensus)是一个重要问题。群体趋同,就是当时间趋于无穷时,系统中所有个体的状态都趋于相等。对于一阶系统的群体趋同问题,任伟是先驱者之一,也是集大成者。他可能是博士论文以此为题的第一人。是任伟读博士期间的一篇综述习作把我引入这一问题的。我认为,这个问题之所以重要,就因为群体一致的情形类似于孤立系统的平衡点,类似于状态空间的原点,是很多问题的基础,可谓“众妙之门”。比如,趋同,本质是群体意义下的渐近稳定;群体意义下的跟踪问题、调节器问题,都可以转换成趋同问题;其他如能控性、可镇定性等等,都可能以趋同为基础,获得新的表述。

       2006年的暑假,Anderson本人和Moorse刚毕业的学生曹明都先后访华,他们都在中科院系统科学研究院做了学术报告,介绍课题组的研究成果。其中Anderson师的研究工作围绕图的刚性问题展开。Anderson师随后去清华访问,我参与了接待,有机会当面求教。我说了我对群体趋同的理论意义的看法。但是老先生颇不以为然,认为趋同是个小问题,意思不大。他说:“到处都是‘反趋同’现象(Anti-Consensus),我给你随便举一个例子。一群鸟在天上飞,一只朝东飞,一只朝西飞,这就是反趋同。”我说:“两只鸟越飞越远,直到彼此看不见,这就是群体意义下的不稳定。”

学科后来的发展证明了我的判断是正确的。现在学术界已公认,群体意义下的稳定性概念,也就是“群稳定性”(Swarm Stability),其核心含义应该是“聚集”。假如一群鸟在天上飞,彼此不分离太远,就是群体稳定,不论鸟群整体飞往何处;反之,鸟群分崩离析,就是不稳定。这是一个新概念,不同于此前一些针对网络化大系统的稳定性概念,如弦稳定性(String Stability)等。或许有人会问,假如任选某一个体的运动轨迹作为参考轨迹,那岂不就成了李雅普诺夫运动稳定性吗?其实,奥妙恰恰在此。李雅普诺夫稳定性是群稳定性的特例。但是,当系统李雅普诺夫意义下不稳定时,仍然可能实现群体稳定。这时,是不具有运动稳定性的,既没有稳定运动轨迹,也没有平衡态。所以,群稳定性本质属于一种非平衡态稳定性,这就是与李雅普诺夫运动稳定性的区别所在。鸟群可以渐飞渐远,至于天边,而仍然保持聚集乃至编队结构。比如雁群,“雁声远过潇湘去”,在古诗的意象中,雁群总是让人联想到非常遥远的地方。

当系统具有李雅普诺夫稳定性时,有一个共同的平衡态能够吸引所有个体,使它们保持聚集。这属于一种平凡情形,大家有一个共同的目标,无需通信联络,无需彼此交流信息。系统不具有李雅普诺夫稳定性才是需要重点考察的情况。这时候欲实现群稳定,很显然需要分别满足两方面要求:

1. 相邻个体之间存在互相吸引的机制;

2. 整个系统拥有足够的信息通路,能满足个体间信息交流的需求。

       群体趋同是群稳定性的特例,实际上等价于大范围渐近群稳定性。针对这个问题,Olfati-Saber对一阶系统最早做了深入研究。任伟证明了有向网络需满足的最小连接性要求是包含一棵生成树。2007~2008年,北大的肖峰和系统所的王金环发展了FaxMurray的早期工作,大体给出了一般高阶线性系统实现群体趋同的条件。

       任伟还一直为发掘群体趋同的应用价值不懈努力。一个直接的应用场景就是编队控制。编队控制实际上是调节器问题在群体意义下的一种延拓。调节器要将某些变量调节到设定值,可通过简单变换转化为镇定问题,实现渐近稳定即可。编队控制则需要个体两两之间某些变量都符合设定的关系,同理,也应该能通过一定的变换转化为一个实现群体趋同的问题。然而,实际的编队,如飞行器编队,往往要求个体之间的相对距离保持定值。但是在二维以上的空间里,欧氏距离是位置坐标的非线性函数,这使编队控制向群体趋同的转换非常困难。因此,只有一维的实际编队问题才容易做出十分简洁完美的结果,比如多主体支撑系统。

       2010年以后,在控制理论界的主流学术期刊,以群体趋同为主题的文献爆炸式增长。我每年给各种SCI刊物审稿20篇次左右,大部分都是关于群体趋同的稿件。很多稿件就是把一些成熟的分析控制方法拿过来在群体趋同上用一下,或者讨论一下分数阶、广义系统之类的趋同问题。我觉得,借用一个流行的问题来制造文章,而没有发掘新问题新思想,这样的稿件实在很难引起读者兴趣。学术界真正欢迎的是展现新问题或者新思想的文章。

       其实,群体趋同固然重要,但它有局限性,意义价值不宜过分夸大。我时常想起Anderson先生所说过的“反趋同”。趋同并非在任何时候都是默认必须实现的。实际上,某些变量的趋同,有时候反而会损害系统的整体稳定性。这种现象在社会经济系统中最为常见。比如投资领域,假如所有人观点一致,全都看好某项投资商品,全跑过来投资,就必定会造成市场的剧烈震荡。一些情况下,不但不应追求趋同,反而应该避免其发生。我曾经针对经济学上的劳动力转移问题具体论证了这一点,发表在经济物理期刊Physica A上。

       很多控制问题,如编队、合围、蜂拥等都无需群体趋同,也往往无法转化为趋同问题。但它们通常要求系统具有群稳定性。群稳定性是群体趋同概念的一种拓展。对于高阶线性系统,我们给出了群稳定性的充分必要条件,发表在控制理论期刊IET Control Theory and Applications。这也是一种多个低维子系统的同时稳定要求,系统趋同条件成为其特例。不久,席建祥博士对该条件做了简化。此外,我们还尝试对一些非线性系统,采用一种二元的相对李雅普诺夫函数刻画相邻个体之间的相互吸引关系。后来,伊朗谢里夫大学的Tavazoei教授课题组也一直致力于分数阶系统的群稳定性研究,在权威期刊发表了一系列论文。

    更进一步将研究的视角放宽,一个动态多智能体系统,如果不具有群稳定性,将会怎样?我来抛砖引玉,在这里提一个既有意义又有意思的话题。“话说天下大势,分久必合,合久必分”,有两类现象能让人联想起这句古话,就是语言和生物的多样性现象。人类语言的演变,经历了由一种逐渐分化为多种,再由多种合并为一种的历程。同一语族甚至同一语系的语言,很可能是由一种上古母语分化而成的。非常类似,生物的进化,也经历了由一个物种逐渐繁衍分化为多个物种,到弱势物种消亡,物种数量减少的历程。有些生物,同一属下面存在上千个不同的种,这些种都有共同的祖先。语言和生物的多样性现象,背后一定存在某种相通的数学规律,决定了系统的状态是如何分化,何时分化,何时归于一统的实际上,“分久必合,归于一统”恰恰是群体趋同的表征。这是属于复杂性科学领域的问题。但我相信部分规律是可以通过相对简单的,基于微分方程的动力学系统模型来分析揭示的。我们最近发表在数学交叉学科期刊Complexity的一篇论文就在这方面做了初步探究。巧的是,我的一个朋友也开始注意到这个问题,他的观察跟我一样。这位朋友就是密苏里大学的候沉教授,曾经在桑塔菲研究所工作多年。




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