线性微分方程的求解方法很多，直接积分可以得到很高的精度。但是尝试一下用数值逼近的方法也是很有意思的。

下面以用Chebyshev多项式展开求解方程（x=[0,1]的一段）
dy/dx=y
y(0)=1
为例说明这个方法。

n阶Chebyshev定义为T(n,x)=cos(n arccos(x))。假设函数y(x)可以近似为
y(x)=sum^{n}_{i=1} a_i T(i,x)
那么，取需要求解的区间内的n-1个点，加上初始条件，方程可以表示为n元线性方程组，用线性代数的方法可以求解展开系数a_i。

下面是实现这个方法的一段代码

function trychebyshev2(n,t0,t1)% use first n Chebyshev polinomial to approximate
                               % t0:lower boundary; t1: upper boundary
A=zeros(n,n);
h=t0:(t1-t0)/n:t1;
t=h(2:end);
for j=1:n-1
    for i=1:n
    A(j,i)=chebT(i,t(j))-chebQ(i,t(j)); % the differential equation is y'=y, y(0)=1
    end
end
for i=1:n
    A(n,i)=chebT(i,0);
end
B=zeros(n,1);
B(n)=1;
x=linsolve(A,B);
z=0:0.05:1;
f1=0;
for i=1:n
    f1=f1+x(i)*chebT(i,z);
end
f2=exp(z);
plot(z,f1,'r',z,f2,'b');

function y=chebT(n,x)
y=cos(n.*acos(x));

function y=chebQ(n,x)
y=sin(n.*acos(x)).*n./sqrt(1-x.^2);



用5阶Chebyshev多项式时误差可以达到百分之几。

用10阶Chebyshev多项式近误差就小得多了。

不过，可以看到，在近似区间之外，近似函数和真实函数就完全不同了。




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