公理一：系统的状态总可由某个适当Hilbert空间$\mathbf{H}$中的单位向量$\psi$来表示。若$\mathbf{H}$中的两个单位向量$\psi_1,\psi_2$满足$\psi_2=c\psi_1$，其中$c\in\mathbb{C}$为常数，则$\psi_1,\psi_2$表示相同的物理状态。

公理二：对经典相空间中的每个实值函数$f$，总存在Hilbert空间$\mathbf{H}$中相应的自伴算子$\hat{f}$。

上述公理中$f$称为经典力学可观测量，$\hat{f}$称为量子力学可观测量。

公理三：若量子系统的某个状态由单位向量$\psi\in\mathbf{H}$来表达，则对可观测量$f$的观测值的概率分布满足

\[E(f^m)=\langle\psi,(\hat{f})^m\psi\rangle\]

为讨论方便，我们引入以下记号：设$A$为$\mathbf{H}$上的自伴算子，$\psi\in\mathbf{H}$为单位向量，我们用$\langle A\rangle_\psi$表示$\langle\psi,A\psi\rangle$。

利用公理三我们可以得到一个简单而有用的结论：

设自伴算子$\hat{f}$只具有点谱，且特征值$\lambda_j$互异，相应的特征向量为$e_j,j=1,2,\cdots$，若$\mathbf{H}$中的单位向量$\psi$的展开式为

\[\psi=\sum_{j=1}^\infty a_je_j\]

则在状态$\psi$下对$f$进行测量，所得值必为某个$\lambda_j$，且该观测值出现的概率为

\[\mathrm{Prob}\{f=\lambda_j\}=|a_j|^2\]

公理四：假设量子系统初始状态为$\psi$，并且此时对观测量$f$进行了测量。若测得的结果为$\lambda\in\mathbb{R}$，则接下来立即进行测量时系统的状态$\psi'$将满足：

\[\hat{f}\psi'=\lambda\psi'\]

波函数从$\psi$变为$\psi'$称为波函数的塌缩。

为引入公理五，我们需要以下的：

Planck量子化假设：假设粒子波函数的时间频率为$\omega$，则粒子的能量$E=\hbar\omega$。

利用上述量子化假设，可以很自然地引入如下的：

公理五：量子系统中波函数$\psi$的时间演化由以下的Schrodinger方程给出：

\[\frac{d\psi}{dt}=\frac{1}{i\hbar}\hat{H}\psi\]

这里$\hat{H}$为经典力学中Hamilton量$H$对应的自伴算子。

在一维情形，$H(x,p)=\frac{p^2}{2m}+V(x)$，从而此时

\[\hat{H}=\frac{P^2}{2m}+V(X)\]

这里算子$V(X)$为

[V(X)psi=V(x)psi(x)]

由此立得一维Schrodinger方程为

[frac{partialpsi(x,t)}{partial t}=frac{ihbar}{2m}frac{partial^2psi(x,t)}{partial x^2}-frac{i}{hbar}V(x)psi(x,t)]

参考文献：Brian C. Hall, Quantum Theory for Mathematicians, GTM267, Springer, 2013.