（1）波、粒子和概率：

量子理论中的两个关键要素：波粒两相性；概率行为（用波函数来描述）。

（2）位置算子和动量算子：

量子理论中诸如位置、动量、能量等都表示为复数域上某个Hilbert空间$\mathbf{H}$中的算子（$\mathbf{H}$中的内积记为$\langle\cdot,\cdot\rangle$，它关于第一个分量是共轭线性的，第二个分量是线性的）。对于$\mathbb{R}^1$中运动的粒子来说这个空间为$L^2(\mathbb{R})$，设粒子的波函数为$\psi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$，则$|\psi(x)|^2$即为粒子位置的概率密度。从而粒子位置的期望为

\[E(x)=\int_{\mathbb{R}}x|\psi(x)|^2dx\]

定义$L^2(\mathbb{R})$中的位置算子$X\psi=x\psi(x)$，则上式在Hilbert空间中表示为

\[E(x)=\langle\psi,X\psi\rangle\]

同样，位置的高阶矩表示为

\[E(x^m)=\langle\psi,X^m\psi\rangle\]

动量算子的引入需要如下的

de Broglie假设：若粒子的波函数空间频率为$k$，则粒子的动量$p=\hbar k$，这里$\hbar$为Planck常量。

利用上述假设，我们很自然地定义动量算子$P$为

\[P\psi=-i\hbar\frac{d}{dx}\psi\]

位置算子$X$和动量算子$P$不交换，它们满足关系：

[XP-PX=ihbar I]

这个关系在量子力学中具有基本的重要性。

参考文献：Brian C. Hall, Quantum Theory for Mathematicians, GTM267, Springer, 2013.