Hamilton力学：

在Hamilton力学中，能量表示为位置和动量的函数而非位置和速度的函数。因此$mathbb{R}^n$中的粒子其典型的能量函数为

[H(mathbf{x},mathbf{p})=frac{1}{2m}sumlimits_{j=1}^np_j^2+V(mathbf{x})]

这里$m$为粒子质量，$p_j=mdot{x}_j$为粒子在空间第$j$个分量上的动量，$V(mathbf{x})$为势能函数。若粒子的受力仅由势能函数给出，即$mathbf{F(x)}=-nabla V(mathbf{x})$，则Newton第二定律表述为：

[left{begin{array}{c}frac{dx_j}{dt}=frac{partial H}{partial p_j}\frac{dp_j}{dt}=-frac{partial H}{partial x_j}end{array}right.]

上述方程通常称为Hamilton方程。

位置空间与动量空间形成的$2n$维欧氏空间通常称为相空间。设$f(mathbf{x,p}),g(mathbf{x,p})$为相空间中的函数，则它们的Poisson括号${f,g}$定义为：

[{f,g}(mathbf{x,p})=sum_{j=1}^nleft(frac{partial f}{partial x_j}frac{partial g}{partial p_j}-frac{partial f}{partial p_j}frac{partial g}{partial x_j}right)]

容易验证，若$f,g,h$均为相空间中的光滑函数，则Poisson括号满足如下性质：

1. ${f,g+ch}={f,g}+c{f,h},qquad cinmathbb{R}$

2. ${g,f}=-{f,g}$

3. ${f,gh}={f,g}h+g{f,h}$

4. ${f,{g,h}}+{g,{h,f}}+{h,{f,g}}=0$

而位置函数和动量函数满足如下的Poisson括号关系：

[{x_j,x_k}=0,qquad{p_j,p_k}=0,qquad{x_j,p_k}=delta_{jk}]

Poisson括号的一个主要性质是：若$mathbf{x}(t),mathbf{p}(t)$为Hamilton方程的解，则对相空间中的任意光滑函数$f$，有

[frac{d}{dt}f(mathbf{x}(t),mathbf{p}(t))={f,H}(mathbf{x}(t),mathbf{p}(t))]

该式通常简记为：[frac{df}{dt}={f,H}]

对于$mathbb{R}^n$中的粒子，其角动量$J$是一个$n$阶斜对称矩阵，其定义为：

[J_{jk}=x_jp_k-x_kp_j]

参考文献：Brian C. Hall, Quantum Theory for Mathematicians, GTM267, Springer, 2013.