[笔记，科普，数学] 素数（227）：素数之间的最大间隔 gaps 与 1914年 Littlewood 定理

混叠： aliasing

哥德巴赫猜想： Goldbach conjecture

费马大定理： Fermat’s last theorem,  Fermat’s great theorem

丢番图方程： Diophantine equation

傅里叶分析： Fourier analysis

非平凡零点： nontrivial zero

对数积分： logarithmic integral, Li(x)

默比乌斯函数： Möbius function, μ(n)

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

对数积分： logarithmic integral

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

   In 1914, Littlewood published his first result in the field of analytic number theory concerning the error term of the prime-counting function. If π(x) denotes the number of primes up x, then the prime number theorem implies that π(x)∼Li⁡(x), where Li⁡(x) is the offset logarithmic integral. Numerical evidence seemed to suggest that π(x) < Li⁡(x) for all x. Littlewood, however proved^[10] that the difference π(x) − Li⁡(x) changes sign infinitely often.

   1914年，Littlewood 发表了他在解析数论领域关于素数计数函数误差项的第一个结果。如果 π(x) 表示直到 x 的素数数量，则素数定理意味着 π(x)∼Li⁡(x)，Li⁡(x) 是偏移对数积分。数值证据似乎表明 π(x) < Li⁡(x) 对于所有的 x。然而，Littlewood证明了^[10] π(x) − Li⁡(x)  的差值⁡变号是无限频繁的。

一、1914年 Littlewood 定理

   意思是 π(x) − li(x) 会‌无限次变正、无限次变负‌，且幅度至少达到√x·logloglogx / logx。

二、打听：素数最大间隔，小于 1914年 Littlewood 定理给出的范围？

图1  PrimeCountingFunction.svg 素数计数函数 π(x) 

https://mathworld.wolfram.com/images/eps-svg/PrimeCountingFunction.svg

图2  zQrx7.png

https://i.sstatic.net/zQrx7.png

图3  jF6Ju.png

https://i.sstatic.net/jF6Ju.png

   借用图3示意，一个反映素数分布规律的光滑函数，其对“素数计数函数 π(x)”的偏差，与“素数之间的最大间隔 maximal gap”有关。

   好的函数对 π(x) 的偏差，不应该超过“素数之间的最大间隔”？而素数最大间隔的增长速度，超过了对数函数 log p？

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-07-08 23:07，[打听，科普，数学] 素数（118）：π(x)-Li(x), 1914年 Littlewood 到底证明了什么？原文哪里有？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542826.html

[2] 2026-07-09 22:24，[打听，科普，数学] 素数（119）：π(x)>Li(x), Skewes's number 斯奎斯数

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1542960.html

[3] 2026-10-25 22:45，[笔记，科普，数学] 素数（226）：素数之间的最大间隔 maximal gaps

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[4] 2026-04-07 22:28，[打听，科普，数学] 素数（27）：素数计数函数，除了切比雪夫 Чебышёв，还有哪些可信的定理？

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[6] 2026-10-10 23:48，[笔记，科普，数学] 素数（211）：傅里叶变换 Fourier transform 的基本概念、常见性质、公式

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[7] 2026-07-27 00:42，[小结，科普，数学] 素数（137）：黎曼 1859 论文阅读笔记（16），感慨与疑问，以及德文、汉译、英译 （全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1545265.html

[8] 2026-08-26 23:11，素数关键词博文网址（2026-03-04 ~ 2026-07-31）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1549711.html

[9] 2026-08-28 22:16，[笔记，科普，数学] 素数（168）：黎曼假设中各个公式推导的条件及其变化（1）

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[10] 2026-10-03 23:21，素数全部博文网址（2026-09）九月份（30篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1555082.html

[11] 2026-09-03 21:06，素数全部博文网址（2026-08）八月份（30篇）

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[12] 2025-09-18 16:55，[讨论，科普] 什么是数学证明？ （关联：演绎、归纳、完全归纳、合情推理）

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