[打听，科普，数学] 素数（220）：高斯通过观察猜出素数定理 Prime Number Theorem 的详细过程？

混叠： aliasing

哥德巴赫猜想： Goldbach conjecture

费马大定理： Fermat’s last theorem,  Fermat’s great theorem

丢番图方程： Diophantine equation

傅里叶分析： Fourier analysis

非平凡零点： nontrivial zero

对数积分： logarithmic integral, Li(x)

默比乌斯函数： Möbius function, μ(n)

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

对数积分： logarithmic integral

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

一、网上搜集到的说法

   1792 或 1793年，15岁上下的高斯，利用‌空闲的 15分钟‌来统计连续 1000个数（他称为“chiliad”）中的素数个数。

   在 1849年圣诞节前夕给约翰·恩克（Johann Encke）的信中，70岁的高斯提到自己已经制作出了一张‌三百万（3,000,000）以内‌的素数表。

   高斯发现，素数出现的频率平均与自然对数成反比，即素数在自然数中的密度约为 ‌1/log(n)‌，这就是素数定理的雏形。 他还进一步提出了更精确的对数积分函数 ‌Li(x)‌ 来估计素数个数。‌‌

二、观察，是数学创新的最重要源头？

   In the Theory of Numbers it happens rather frequently that, by some unexpected luck, the most elegant new truths spring up by induction.

   在数论中由于意外的幸运颇为经常，所以用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。

   ——高斯 Carl Friedrich Gauss

   ... durch planmässiges Tattonieren.

   [... through systematic, palpable experimentation.]

   —— [Asked how he came upon his theorems]

   […通过系统、明显的实验。]

   ——（被问到他是怎么得出定理的）

   —— 高斯 Carl Friedrich Gauss

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-10-18 20:36，[笔记，科普，数学] 素数（219）：素数定理 Prime Number Theorem 年表

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1557168.html

[2] 2026-03-30 21:14，[笔记，科普，数学] 波利亚 George Pólya, György Pólya 名言之二（2nd）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1528093.html

[3] 2026-06-23 21:37，[打听，科普，数学] 素数（103）：高斯“durch planmässiges Tattonieren”的上下文与含义

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1540639.html

[4] 2026-10-17 19:53，[笔记，科普，数学] 素数（218）：前 10000 个（一万）素数的直观观察之三，差值的局部自相关系数

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1557053.html

[5] 2026-10-10 23:48，[笔记，科普，数学] 素数（211）：傅里叶变换 Fourier transform 的基本概念、常见性质、公式

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[6] 2026-09-04 22:13，[笔记，科普，数学] 素数（175）：黎曼解析延拓 ζ(s) 第十二步，利用黎曼傅里叶变换得出 J(y)

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[7] 2026-07-27 00:42，[小结，科普，数学] 素数（137）：黎曼 1859 论文阅读笔记（16），感慨与疑问，以及德文、汉译、英译 （全网址）

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[8] 2026-08-26 23:11，素数关键词博文网址（2026-03-04 ~ 2026-07-31）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1549711.html

[9] 2026-08-28 22:16，[笔记，科普，数学] 素数（168）：黎曼假设中各个公式推导的条件及其变化（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1550016.html

[10] 2026-10-03 23:21，素数全部博文网址（2026-09）九月份（30篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1555082.html

[11] 2026-09-03 21:06，素数全部博文网址（2026-08）八月份（30篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1550903.html

[12] 2025-09-18 16:55，[讨论，科普] 什么是数学证明？ （关联：演绎、归纳、完全归纳、合情推理）

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