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[打听，科普，数学] 素数（104）：高斯是如何发现“素数定理 prime number theorem”的？

已有 126 次阅读 2026-6-24 00:47 |个人分类:资料与科普|系统分类:科研笔记

[打听，科普，数学] 素数（104）：高斯是如何发现“素数定理 prime number theorem”的？

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

高斯： Johann Friedrich Carl Gauss, 1777-04-30 ~ 1855-02-23, 77

一、打听：高斯发现“素数定理 prime number theorem”的相关细节

网传：

高斯 15岁那年（大约在 1792年或1793年）发现了素数定理：

for large n the density of primes near n is about 1/log(n)。

whenever he had a spare 15 minutes he would spend it in counting the primes in a 'chiliad' (a range of 1000 numbers), 只要他有15分钟的空闲时间，他就会用它来计算“千位数”（1000个数字的范围）中的素数。

“随时随地利用空闲的十多分钟计算连续一千个数中的素数”，最后高斯列出了三百万（！）以内的素数表。

“I soon recognized that behind all of its fluctuations, this frequency is on the average inversely proportional to the logarithm. 我很快意识到，在所有波动的背后，这个频率平均与对数成反比。”

在 1849年圣诞节前夕(on Christmas Eve, 1849)，高斯写信给 Johann Encke 说已经发现了素数分布的近似服从“对数积分 logarithmic integral”。

Gauss to his colleague Johann Encke on Christmas Eve 1849_后期.png

图1 1849年圣诞节前夕，高斯给他的同事 Johann Encke 的书信

“事实上，作出过重大贡献的数学家，如欧拉、高斯等，都非常强调观察、归纳、类比在数学研究中的重要作用。”

“在数论中由于意外的幸运颇为经常，所以用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。

——高斯”

二、高斯、庞加莱、爱因斯坦谈科学发现

2.1 高斯

... durch planmässiges Tattonieren.

[... through systematic, palpable experimentation.]

…通过系统、明显的实验。

（被问到他是怎么得出定理的）

We must admit with humility that, while number is purely a product of our minds, space has a reality outside our minds, so that we cannot completely prescribe its properties a priori.

—— Letter to Bessel, 1830.

我们必须谦逊地承认，虽然数字纯粹是我们头脑的产物，但空间在我们头脑之外有一个现实，所以我们不能完全先验地规定它的属性。

2.2 庞加莱

It is by logic we prove, it is by intuition that we invent.

我们用逻辑证明，用直觉发明。

Logic, therefore, remains barren unless fertilised by intuition.

因此，除非直觉滋养，否则逻辑仍然是贫瘠的。

The mind uses its faculty for creativity only when experience forces it to do so.

只有当经验迫使大脑发挥创造力时，它才会发挥创造力。

C'est par la logique qu'on démontre, c'est par l'intuition qu'on invente.

It is by logic that we prove, but by intuition that we discover. To know how to criticize is good, to know how to create is better.

我们通过逻辑学来证明，通过直觉来发现。

La logique nous apprend que sur tel ou tel chemin nous sommes sûrs de ne pas rencontrer d'obstacle ; elle ne nous dit pas quel est celui qui mène au but. Pour cela il faut voir le but de loin, et la faculté qui nous apprend à voir, c'est l'intuition. Sans elle, le géomètre serait comme un écrivain qui serait ferré sur la grammaire, mais qui n'aurait pas d'idées.

Logic teaches us that on such and such a road we are sure of not meeting an obstacle; it does not tell us which is the road that leads to the desired end. For this, it is necessary to see the end from afar, and the faculty which teaches us to see is intuition. Without it, the geometrician would be like a writer well up in grammar but destitute of ideas.

逻辑学告诉我们，在这条或那条路上，我们一定不会遇到任何障碍；它没有告诉我们哪一条路将通向目标终点。为此，我们必须从远处看到目标，而教会我们看到的能力就是直觉。没有它，几何学家就像一个精通语法但缺乏思想的作家。

（美）玛莎·葛森著. 完美的证明一位天才和世纪数学的突破.png

图2 （美）玛莎·葛森著. 完美的证明一位天才和世纪数学的突破[M]. 2012 第 153 页

2.3 爱因斯坦

Albert Einstein 1933-06-10 as the Herbert Spencer lecture at Oxford,《 On the Method of Theoretical Physics 关于理论物理学的方法》:

"Pure logical thinking cannot yield us any knowledge of the empirical world; all knowledge of reality starts from experience and ends in it. Propositions arrived at purely by logical means are completely empty as regards reality. Because Galileo saw this, and particularly because he drummed it into the scientific world, he is the father of physics—indeed of modern science altogether."

“纯粹的逻辑思维不能给我们任何关于经验世界的知识；一切关于实在的知识，都是从经验开始，又终结于经验。就现实而言，纯粹通过逻辑手段得出的主张是完全空白的。由于伽利略看到了这一点，特别是因为他将其鼓入了科学界，因此他是物理学的父亲-完全代表了现代科学。”

爱因斯坦为中学数学教育中脱离实际的倾向感到担忧。1920年7月16日，他在致奥地利技术工业博物馆首任馆长的信中写道：“几何学家甚至在几个世纪的发展过程中，忘却了他们的知识是以研究实物和光线为基础的。任何断然否认这一点的几何学家，都将他的科学贬低为毫无意义的文字游戏，科学唯有在与感觉经验世界保持联系时才能发展和繁荣，无论这种联系多么间接。如前所述，专注于技术的实践极其适合用来抵御科学的退化。”

参考资料：

[1] 澎湃，2024-08-20 14:21，波利亚的数学思想：解题是人类的最富有特征的活动

https://www.thepaper.cn/newsDetail_forward_28448679

[2] 刘钝，中国科学报，2026-06-07，很多人不知道，搞理论的爱因斯坦还是一个“技术咖”

https://mp.weixin.qq.com/s/CbzfKHcJVhQh6_asyc_LRw

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2024-10-22 22:21，[打听，笔记] 推导符号公式的局限性：从数学、心理学到哲学

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1456506.html

[2] 2023-07-14 01:22，“电磁学的实验再检验”：经典电磁学实验当代再检验的起因、意义要点

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1395251.html

[3] 2024-06-25 22:49，[请教，讨论，笔记] 柯西：函数不一定要有解析表达式。（关联：分布参数系统 distributed parameter system）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1439715.html