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两物并立、诸方之方及诸方归一

已有 829 次阅读 2020-9-17 17:44 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记

[注:下文是群邮件的内容,标题是另拟的。清楚起见,特用三连星分为两部分。]

进入第六段之前,再对第五段做个回顾...

* * *

G(X) = H(X, α^i·r)·Q(X, α^i·r)

---- 得到此式之后做连乘,这是不容易想到的...(参下文的 1)

---- 此式给出了 G(X) 的 p 种表达式,其中 i = 0, 1, ..., p-1。

---- “做连乘” 的方法论是 “使之方”!

---- 实际上G(X) 的右端是 “两物并立”,这也是“方”。

---- 这两步落入模式:方 ~> 方 (诸方之方)。

.

方法:当某个对象有若干种表达式,可考虑对它们做连乘

* * *

再来看另一个结果(上次没明显写出,而早先 整理 时写出过):

G(X) = H(X, r)·H(X, α·r)·H(X, α^2·r)...H(X, α^(p-1)·r)

---- 这是 G(X) 在 K' 中的终极因式分解。

---- 它是通过如下 “魔术” 得到的 ...

1. G(X) 的 p 种表达式做连乘,得 G(X)^p = H(X, r)·Q(X, r)·H(X,  α·r)·Q(X, α·r)... H(X,  α^(p-1)·r)·Q(X, α^(p-1)·r)

2. 上式右端有 2p 个因式,分别按 H 和 Q 集项 (即重新排序) 得 G(X)^p = [H(X,  α^i·r)]·[Q(X,  α^i·r)]。见注1、注2、注3。

3. 由伽罗瓦的引理1,G(X)^p 可以被 G(X) 整除 p 次。

4. 即 1 = [H(X,  α^i·r)]·[Q(X,  α^i·r)]/G(X)^p。

5. 由于两边都是整除,则右边的分母必定会被约分掉。

6. 即 [H(X,  α^i·r)] 会约分掉若干个G(X),设为 j 个,[Q(X,  α^i·r)] 会约分掉其余的 G(X)。

7. 由此 G(X)^j = [H(X,  α^i·r)]。

8. 对比上式两边的次数,得 j·deg G = p·deg H

10. 命题的结论之一是大群和小群的元素个数之比是整数。

11. 这个比值为 deg G/deg H,记作 index。

12. 由 8 和 11:j·index = p,其中 p 是素数。

13. 由此 index 是整数,并且要么等于 1 要么等于 p。

14. 此时,j 要么等于 p,要么等于 1。

15. 对于 index 为 p 的情形 (此时 j = 1),由 7 得

 G(X) = [H(X,  α^i·r)] = H(X, r)·H(X, α·r)·H(X, α^2·r)...H(X, α^(p-1)·r)。

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注1:此处方括号表示“连乘”,同时也起到集项的作用。[H(X,  α^i·r)] 就是书中的 h(X),而 [Q(X,  α^i·r)] 就是 q(X)。

注2:为何要集项?若不按照 H 和 Q 集项,则第3步仍然成立,但没办法甩掉那些 Q(参见 7,8),而且 p 个 G 要往 2p 个“篮子”里放会有很多种情况,会使推导出现巨多分岔。此处按 H 和 Q 分别集项后形成两个“大篮子”,方便分配那 p 个 G 因式。特别地,这样集项很自然,有种 “证明本天成” 的感觉。

注3:集项后在形式上又回到 “两物并立”,有 “诸方归一” 的意味:每个 G(X) 的表达是 “两物并立” ,做连乘得到高维的方(“诸方之方”),集项后得到 (更高层面的) “两物并立” (即“诸方归一”)。

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评论:第五段最厉害的地方在 1 和 2 这两步。

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特评:伽罗瓦理论中,凡是有技巧的地方都是为引理1做准备 (待考)。




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