[注：下文是群邮件的内容。]

《Galois theory》

H.E. p. 59 (S44)

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H       h

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r        α

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注：证明的第 -2- 段之四角图。

----  r :  k 的 p 次根;

---- α : 本原 p 次单位根;

---- H : F(X) 在 K' 中的不可约因式，记作 H(X) 或 H(X, r);

---- h : 由 H 生成的 “本原堆”：h = H(X, r)·H(X, α·r)·H(X, α^2·r)· ... ·H(X, α^(p-1)·r).

特注：此段的动机源于第五段。这是典型的“出于简洁”而引起的 “颠倒” (往往用 “Since” 或 “consider” 引导)。

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G(X) = H(X, r)·Q(X, r)。

注：证明的第 -3- 段之结果。

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本原作用 保持 r-分解。

注：证明的第 -4- 段 (引理)。

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1. 对橙色公式实施本原作用，得：G(X) = H(X, α^i·r)·Q(X, α^i·r)，i = 1, 2, ..., p。

2. 将这 p 个方程做连乘法，得：G(X)^p = h(X)·q(X). 注：G, h, q 都是 K 之上的多项式。

3. G(X) 和 G(X)^i 有公共根 t，而 G(X) 不可约 ==> G(X) 可将 G(X)^p 整除 p 次。

4. 则 2 中的方程变成了 1 = h(X)·q(X)/G(X)^p  (两端都是整除)。

5. 这意味着若干 G(X) 因式被 h(X) 约分掉了，其余的 G(X) 被 q(X) 约分掉了。

6. 不妨设 h(X)/G(X)^j = C, q(X)/G(X)^(p - j) = 1/C，其中 C 为 K 中的非零常数。

7. 由此，h(X) = C·G(X)^j ==> 本原堆 = C·G(X)^j。

8. 对照两边的阶数，得：(deg h) = p·deg H = j·deg G。 

9. 由此，p = index·j，其中 index = deg G/ deg H。

10. 因 p 是素数 ==> index = p 或 1。注：此时 j = 1 或 p。

注：证明的第 -5- 段(细化)。

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1. 当 index = p (即 deg G/deg H = p) 时，j = 1。

2. 由上面的 7，C·G(X) = h(X) = H(X, r)·H(X, α·r)·H(X, α^2·r)· ... ·H(X, α^(p-1)·r)。

(这个等式体现了 G(X) 在 K' 中的因式分解情况)。

3. G(X) 的其它因式都是 H(X, r) 的一个版本。如何知道 H(X, α^i·r) 在K'中不可约 ?(待证)

4. 各因式都对应一个子群。

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评论：G(X) 的诸根可按上面的诸因式分为 p 个组：

             H(·, r)       H(·, α·r)       ...     H(·, α^i·r)    ...     H(·, α^(p-1)·r)         

----     |t, t', t'', ...|t1, t1', t1'', ...| ... ... |ti, ti', ti'', ... |... ...|tp-1, tp-1', tp-1'', ... | 

G(X)       u(=t)                                       u' 

H(X, r)    v                                             v'

---- u(=t) 和 u' 是G(X) 的根，也分别是 H(X, r) 和 H(X, α^i·r) 的根。

---- ................................ v 和 v' 分别是 H(X, r) 和 H(X, α^i·r) 的根。

---- 只须证明：若 S(u) = u'，则 S(v) = v'。

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5. 只须证明：若 S {a(u) b(u) c(u), ...} = {a(u') b(u') c(u'), ...}，则 S {a(v) b(v) c(v), ...} = {a(v') b(v') c(v'), ...}。注：u, u' 及 v, v' 按上述评论的约定。

6. 为此令 v = ψ(u)，此处 ψ 是系数在 K 中的多项式。(为何可以这样做 ?)

7. H(ψ(X), r) 是变量为 X 的多项式，系数在 K' 中，且 u(=t) 是它的根。

8. 由引理1，H(X, r) 整除 H(ψ(X), r)，这意味着后者有 r-分解。

9. 即 H(X, α^i·r) 整除 H(ψ(X), α^i·r)。注：本原作用保持整除。

(这意味着：前者的根 u' 也是后者的根，即 H(ψ(u'), α^i·r) =0)

10. 令 v' = ψ(u')，则 v' 和 u' 是同一因式 H(X, α^i·r) 的根。

(v' 代入该因式得 H(v', α^i·r) = H(ψ(u'), α^i·r) = 0)

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评论：6~10 从 u(=t) 和 u' 是 G(X) 的根、u' 是 H(X, α^i·r) 的根、v 是 H(X, r) 的根出发，由 u 和 v 得到 ψ，到最后由 ψ 和 u' 得到 v' (使得 v' 也是 H(X, α^i·r) 的根)，这是一条线；而 由 u 到 u' 给出一个置换 S，只须证明同一个 S 也把 v 带到 v'，这是另一条线。在 6 ~ 10 中，ψ 贯穿所有步骤 (因而可以认为这些步骤是为了 “传递” ψ)。

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11. 由 v = ψ(u) 和 S(u) = u' 得到：S(v) = S(ψ(u)) = ψ(S(u)) = ψ(u') = v'。 (注：u 到 u' 只是为了给出一个横跨 “子表述” 的置换)。

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第六段之图解：引入ψ，并通过整除关系联通左右两个世界。

v  →  v'

↑        ↑

u  →  u'

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注：证明的第 -6- 段 (详解)。

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临时顿悟：伽罗瓦预解式 t 可看作排列的 “坐标” (广义)，而 A · + B · + C · + ... 可以看作 “坐标系” (广义)。